Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1fval3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1fval3 19800
 Description: Univariate power series coefficient vectors expressed as a function composition. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1fval.a 𝐴 = (coe1𝐹)
coe1f2.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1f2.p 𝑃 = (PwSer1𝑅)
coe1fval3.g 𝐺 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))
Assertion
Ref Expression
coe1fval3 (𝐹𝐵𝐴 = (𝐹𝐺))
Distinct variable group:   𝑦,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝑃(𝑦)   𝑅(𝑦)   𝐺(𝑦)

Proof of Theorem coe1fval3
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coe1fval.a . . 3 𝐴 = (coe1𝐹)
21coe1fval 19797 . 2 (𝐹𝐵𝐴 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1𝑜 × {𝑦}))))
3 coe1f2.p . . . . 5 𝑃 = (PwSer1𝑅)
4 coe1f2.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑃)
5 eqid 2760 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
63, 4, 5psr1basf 19793 . . . 4 (𝐹𝐵𝐹:(ℕ0𝑚 1𝑜)⟶(Base‘𝑅))
7 ssv 3766 . . . 4 (Base‘𝑅) ⊆ V
8 fss 6217 . . . 4 ((𝐹:(ℕ0𝑚 1𝑜)⟶(Base‘𝑅) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ V) → 𝐹:(ℕ0𝑚 1𝑜)⟶V)
96, 7, 8sylancl 697 . . 3 (𝐹𝐵𝐹:(ℕ0𝑚 1𝑜)⟶V)
10 fconst6g 6255 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → (1𝑜 × {𝑦}):1𝑜⟶ℕ0)
1110adantl 473 . . . . 5 ((𝐹:(ℕ0𝑚 1𝑜)⟶V ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (1𝑜 × {𝑦}):1𝑜⟶ℕ0)
12 nn0ex 11510 . . . . . 6 0 ∈ V
13 1oex 7738 . . . . . 6 1𝑜 ∈ V
1412, 13elmap 8054 . . . . 5 ((1𝑜 × {𝑦}) ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↔ (1𝑜 × {𝑦}):1𝑜⟶ℕ0)
1511, 14sylibr 224 . . . 4 ((𝐹:(ℕ0𝑚 1𝑜)⟶V ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (1𝑜 × {𝑦}) ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜))
16 coe1fval3.g . . . . 5 𝐺 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))
1716a1i 11 . . . 4 (𝐹:(ℕ0𝑚 1𝑜)⟶V → 𝐺 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑦})))
18 id 22 . . . . 5 (𝐹:(ℕ0𝑚 1𝑜)⟶V → 𝐹:(ℕ0𝑚 1𝑜)⟶V)
1918feqmptd 6412 . . . 4 (𝐹:(ℕ0𝑚 1𝑜)⟶V → 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝐹𝑥)))
20 fveq2 6353 . . . 4 (𝑥 = (1𝑜 × {𝑦}) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(1𝑜 × {𝑦})))
2115, 17, 19, 20fmptco 6560 . . 3 (𝐹:(ℕ0𝑚 1𝑜)⟶V → (𝐹𝐺) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1𝑜 × {𝑦}))))
229, 21syl 17 . 2 (𝐹𝐵 → (𝐹𝐺) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1𝑜 × {𝑦}))))
232, 22eqtr4d 2797 1 (𝐹𝐵𝐴 = (𝐹𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340   ⊆ wss 3715  {csn 4321   ↦ cmpt 4881   × cxp 5264   ∘ ccom 5270  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  1𝑜c1o 7723   ↑𝑚 cmap 8025  ℕ0cn0 11504  Basecbs 16079  PwSer1cps1 19767  coe1cco1 19770 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-fz 12540  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-tset 16182  df-ple 16183  df-psr 19578  df-opsr 19582  df-psr1 19772  df-coe1 19775 This theorem is referenced by:  coe1f2  19801  coe1fval2  19802  coe1mul2  19861
 Copyright terms: Public domain W3C validator