MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1add Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1add 19836
Description: The coefficient vector of an addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1add.y 𝑌 = (Poly1𝑅)
coe1add.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
coe1add.p = (+g𝑌)
coe1add.q + = (+g𝑅)
Assertion
Ref Expression
coe1add ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1‘(𝐹 𝐺)) = ((coe1𝐹) ∘𝑓 + (coe1𝐺)))

Proof of Theorem coe1add
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . . . . 5 (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
2 coe1add.y . . . . . 6 𝑌 = (Poly1𝑅)
3 eqid 2760 . . . . . 6 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
4 coe1add.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑌)
52, 3, 4ply1bas 19767 . . . . 5 𝐵 = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
6 coe1add.q . . . . 5 + = (+g𝑅)
7 coe1add.p . . . . . 6 = (+g𝑌)
82, 1, 7ply1plusg 19797 . . . . 5 = (+g‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
9 simp2 1132 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐹𝐵)
10 simp3 1133 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐺𝐵)
111, 5, 6, 8, 9, 10mpladd 19644 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) = (𝐹𝑓 + 𝐺))
1211coeq1d 5439 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → ((𝐹 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))) = ((𝐹𝑓 + 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))))
13 eqid 2760 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
142, 4, 13ply1basf 19774 . . . . . 6 (𝐹𝐵𝐹:(ℕ0𝑚 1𝑜)⟶(Base‘𝑅))
15 ffn 6206 . . . . . 6 (𝐹:(ℕ0𝑚 1𝑜)⟶(Base‘𝑅) → 𝐹 Fn (ℕ0𝑚 1𝑜))
1614, 15syl 17 . . . . 5 (𝐹𝐵𝐹 Fn (ℕ0𝑚 1𝑜))
17163ad2ant2 1129 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐹 Fn (ℕ0𝑚 1𝑜))
182, 4, 13ply1basf 19774 . . . . . 6 (𝐺𝐵𝐺:(ℕ0𝑚 1𝑜)⟶(Base‘𝑅))
19 ffn 6206 . . . . . 6 (𝐺:(ℕ0𝑚 1𝑜)⟶(Base‘𝑅) → 𝐺 Fn (ℕ0𝑚 1𝑜))
2018, 19syl 17 . . . . 5 (𝐺𝐵𝐺 Fn (ℕ0𝑚 1𝑜))
21203ad2ant3 1130 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → 𝐺 Fn (ℕ0𝑚 1𝑜))
22 df1o2 7741 . . . . . 6 1𝑜 = {∅}
23 nn0ex 11490 . . . . . 6 0 ∈ V
24 0ex 4942 . . . . . 6 ∅ ∈ V
25 eqid 2760 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎})) = (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))
2622, 23, 24, 25mapsnf1o3 8072 . . . . 5 (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎})):ℕ01-1-onto→(ℕ0𝑚 1𝑜)
27 f1of 6298 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎})):ℕ01-1-onto→(ℕ0𝑚 1𝑜) → (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎})):ℕ0⟶(ℕ0𝑚 1𝑜))
2826, 27mp1i 13 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎})):ℕ0⟶(ℕ0𝑚 1𝑜))
29 ovexd 6843 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (ℕ0𝑚 1𝑜) ∈ V)
3023a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → ℕ0 ∈ V)
31 inidm 3965 . . . 4 ((ℕ0𝑚 1𝑜) ∩ (ℕ0𝑚 1𝑜)) = (ℕ0𝑚 1𝑜)
3217, 21, 28, 29, 29, 30, 31ofco 7082 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → ((𝐹𝑓 + 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))) = ((𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))) ∘𝑓 + (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎})))))
3312, 32eqtrd 2794 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → ((𝐹 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))) = ((𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))) ∘𝑓 + (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎})))))
342ply1ring 19820 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Ring)
354, 7ringacl 18778 . . . 4 ((𝑌 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) ∈ 𝐵)
3634, 35syl3an1 1167 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (𝐹 𝐺) ∈ 𝐵)
37 eqid 2760 . . . 4 (coe1‘(𝐹 𝐺)) = (coe1‘(𝐹 𝐺))
3837, 4, 2, 25coe1fval2 19782 . . 3 ((𝐹 𝐺) ∈ 𝐵 → (coe1‘(𝐹 𝐺)) = ((𝐹 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))))
3936, 38syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1‘(𝐹 𝐺)) = ((𝐹 𝐺) ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))))
40 eqid 2760 . . . . 5 (coe1𝐹) = (coe1𝐹)
4140, 4, 2, 25coe1fval2 19782 . . . 4 (𝐹𝐵 → (coe1𝐹) = (𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))))
42413ad2ant2 1129 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1𝐹) = (𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))))
43 eqid 2760 . . . . 5 (coe1𝐺) = (coe1𝐺)
4443, 4, 2, 25coe1fval2 19782 . . . 4 (𝐺𝐵 → (coe1𝐺) = (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))))
45443ad2ant3 1130 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1𝐺) = (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))))
4642, 45oveq12d 6831 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → ((coe1𝐹) ∘𝑓 + (coe1𝐺)) = ((𝐹 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎}))) ∘𝑓 + (𝐺 ∘ (𝑎 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑎})))))
4733, 39, 463eqtr4d 2804 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺𝐵) → (coe1‘(𝐹 𝐺)) = ((coe1𝐹) ∘𝑓 + (coe1𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  Vcvv 3340  c0 4058  {csn 4321  cmpt 4881   × cxp 5264  ccom 5270   Fn wfn 6044  wf 6045  1-1-ontowf1o 6048  cfv 6049  (class class class)co 6813  𝑓 cof 7060  1𝑜c1o 7722  𝑚 cmap 8023  0cn0 11484  Basecbs 16059  +gcplusg 16143  Ringcrg 18747   mPoly cmpl 19555  PwSer1cps1 19747  Poly1cpl1 19749  coe1cco1 19750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-ofr 7063  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-hash 13312  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-tset 16162  df-ple 16163  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-ghm 17859  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-subrg 18980  df-psr 19558  df-mpl 19560  df-opsr 19562  df-psr1 19752  df-ply1 19754  df-coe1 19755
This theorem is referenced by:  coe1addfv  19837
  Copyright terms: Public domain W3C validator