Theorem coe0 24057

Description: The coefficients of the zero polynomial are zero. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
coe0	⊢ (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})

Proof of Theorem coe0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cnd 10071	. . . 4 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℂ)
2		ssid 3657	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
3		ply0 24009	. . . . 5 ⊢ (ℂ ⊆ ℂ → 0𝑝 ∈ (Poly‘ℂ))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 0𝑝 ∈ (Poly‘ℂ)
5		coemulc 24056	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 0𝑝 ∈ (Poly‘ℂ)) → (coeff‘((ℂ × {0}) ∘𝑓 · 0𝑝)) = ((ℕ0 × {0}) ∘𝑓 · (coeff‘0𝑝)))
6	1, 4, 5	sylancl 695	. . 3 ⊢ (⊤ → (coeff‘((ℂ × {0}) ∘𝑓 · 0𝑝)) = ((ℕ0 × {0}) ∘𝑓 · (coeff‘0𝑝)))
7		cnex 10055	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ V)
9		plyf 23999	. . . . . . 7 ⊢ (0𝑝 ∈ (Poly‘ℂ) → 0𝑝:ℂ⟶ℂ)
10	4, 9	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 0𝑝:ℂ⟶ℂ)
11		mul02 10252	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0 · 𝑥) = 0)
12	11	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · 𝑥) = 0)
13	8, 10, 1, 1, 12	caofid2 6970	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((ℂ × {0}) ∘𝑓 · 0𝑝) = (ℂ × {0}))
14		df-0p 23482	. . . . 5 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
15	13, 14	syl6eqr 2703	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((ℂ × {0}) ∘𝑓 · 0𝑝) = 0𝑝)
16	15	fveq2d 6233	. . 3 ⊢ (⊤ → (coeff‘((ℂ × {0}) ∘𝑓 · 0𝑝)) = (coeff‘0𝑝))
17		nn0ex 11336	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℕ0 ∈ V)
19		eqid 2651	. . . . . 6 ⊢ (coeff‘0𝑝) = (coeff‘0𝑝)
20	19	coef3 24033	. . . . 5 ⊢ (0𝑝 ∈ (Poly‘ℂ) → (coeff‘0𝑝):ℕ0⟶ℂ)
21	4, 20	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (⊤ → (coeff‘0𝑝):ℕ0⟶ℂ)
22	18, 21, 1, 1, 12	caofid2 6970	. . 3 ⊢ (⊤ → ((ℕ0 × {0}) ∘𝑓 · (coeff‘0𝑝)) = (ℕ0 × {0}))
23	6, 16, 22	3eqtr3d 2693	. 2 ⊢ (⊤ → (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0}))
24	23	trud 1533	1 ⊢ (coeff‘0𝑝) = (ℕ0 × {0})

Syntax hints:   = wceq 1523  ⊤wtru 1524   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607  {csn 4210   × cxp 5141  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ∘_𝑓 cof 6937  ℂcc 9972  0cc0 9974   · cmul 9979  ℕ₀cn0 11330  0_𝑝c0p 23481  Polycply 23985  coeffccoe 23987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-0p 23482  df-ply 23989  df-coe 23991  df-dgr 23992

This theorem is referenced by:  dgreq0  24066  dgrlt  24067  plymul0or  24081  plydivlem4  24096  plymulx  30753  mncn0  38026  aaitgo  38049  n0p  39523  elaa2  40769  aacllem  42875