Theorem cnxmet 22777

Description: The absolute value metric is an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnxmet	⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Proof of Theorem cnxmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmet 22776	. 2 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
2		metxmet 22340	. 2 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2139   ∘ ccom 5270  ‘cfv 6049  ℂcc 10126   − cmin 10458  abscabs 14173  ∞Metcxmt 19933  Metcme 19934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-xadd 12140  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-xmet 19941  df-met 19942

This theorem is referenced by:  cnbl0  22778  cnfldms  22780  cnfldtopn  22786  cnfldhaus  22789  blcvx  22802  tgioo2  22807  recld2  22818  zdis  22820  reperflem  22822  addcnlem  22868  divcn  22872  iitopon  22883  dfii3  22887  cncfmet  22912  cncfcn  22913  cnheibor  22955  cnllycmp  22956  ipcn  23245  lmclim  23301  cnflduss  23352  reust  23369  ellimc3  23842  dvlipcn  23956  dvlip2  23957  dv11cn  23963  lhop1lem  23975  ftc1lem6  24003  ulmdvlem1  24353  ulmdvlem3  24355  psercn  24379  pserdvlem2  24381  pserdv  24382  abelthlem2  24385  abelthlem3  24386  abelthlem5  24388  abelthlem7  24391  abelth  24394  dvlog2lem  24597  dvlog2  24598  efopnlem2  24602  efopn  24603  logtayl  24605  logtayl2  24607  cxpcn3  24688  rlimcnp  24891  xrlimcnp  24894  efrlim  24895  lgamucov  24963  lgamcvg2  24980  ftalem3  25000  smcnlem  27861  hhcnf  29073  tpr2rico  30267  qqhucn  30345  blsconn  31533  cnllysconn  31534  ftc1cnnc  33797  cntotbnd  33908  reheibor  33951  binomcxplemdvbinom  39054  binomcxplemnotnn0  39057  iooabslt  40224  limcrecl  40364  islpcn  40374  stirlinglem5  40798