Theorem cnvresid 6121

Description: Converse of a restricted identity function. (Contributed by FL, 4-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cnvresid	⊢ ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)

Proof of Theorem cnvresid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvi 5687	. . 3 ⊢ ◡ I = I
2	1	eqcomi 2761	. 2 ⊢ I = ◡ I
3		funi 6073	. . 3 ⊢ Fun I
4		funeq 6061	. . 3 ⊢ ( I = ◡ I → (Fun I ↔ Fun ◡ I ))
5	3, 4	mpbii 223	. 2 ⊢ ( I = ◡ I → Fun ◡ I )
6		funcnvres 6120	. . 3 ⊢ (Fun ◡ I → ◡( I ↾ 𝐴) = (◡ I ↾ ( I “ 𝐴)))
7		imai 5628	. . . 4 ⊢ ( I “ 𝐴) = 𝐴
8	1, 7	reseq12i 5541	. . 3 ⊢ (◡ I ↾ ( I “ 𝐴)) = ( I ↾ 𝐴)
9	6, 8	syl6eq 2802	. 2 ⊢ (Fun ◡ I → ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴))
10	2, 5, 9	mp2b 10	1 ⊢ ◡( I ↾ 𝐴) = ( I ↾ 𝐴)

Syntax hints:   = wceq 1624   I cid 5165  ^◡ccnv 5257   ↾ cres 5260   “ cima 5261  Fun wfun 6035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pr 5047

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ral 3047  df-rex 3048  df-rab 3051  df-v 3334  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-br 4797  df-opab 4857  df-id 5166  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-fun 6043

This theorem is referenced by:  fcoi1  6231  f1oi  6327  relexpcnv  13966  tsrdir  17431  gicref  17906  ssidcn  21253  idqtop  21703  idhmeo  21770  ltrncnvnid  35908  dihmeetlem1N  37073  dihglblem5apreN  37074  diophrw  37816  cnvrcl0  38426  relexpaddss  38504