Theorem cnvimadfsn 7349

Description: The support of functions "defined" by inverse images expressed by binary relations. (Contributed by AV, 7-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
cnvimadfsn	⊢ (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})) = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)}

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦

Proof of Theorem cnvimadfsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfima3 5504	. 2 ⊢ (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})) = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑦 ∈ (V ∖ {𝑍}) ∧ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ◡𝑅)}
2		vex 3234	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
3		eldifvsn 4359	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ 𝑦 ≠ 𝑍))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ 𝑦 ≠ 𝑍)
5		vex 3234	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
6	2, 5	opelcnv 5336	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ◡𝑅 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑅)
7		df-br 4686	. . . . . 6 ⊢ (𝑥𝑅𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑅)
8	6, 7	bitr4i 267	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ◡𝑅 ↔ 𝑥𝑅𝑦)
9	4, 8	anbi12ci 734	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ (V ∖ {𝑍}) ∧ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ◡𝑅) ↔ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))
10	9	exbii 1814	. . 3 ⊢ (∃𝑦(𝑦 ∈ (V ∖ {𝑍}) ∧ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ◡𝑅) ↔ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍))
11	10	abbii 2768	. 2 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑦 ∈ (V ∖ {𝑍}) ∧ ⟨𝑦, 𝑥⟩ ∈ ◡𝑅)} = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)}
12	1, 11	eqtri 2673	1 ⊢ (◡𝑅 “ (V ∖ {𝑍})) = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦 ≠ 𝑍)}

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523  ∃wex 1744   ∈ wcel 2030  {cab 2637   ≠ wne 2823  Vcvv 3231   ∖ cdif 3604  {csn 4210  ⟨cop 4216   class class class wbr 4685  ^◡ccnv 5142   “ cima 5146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-br 4686  df-opab 4746  df-xp 5149  df-cnv 5151  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156

This theorem is referenced by:  suppimacnvss  7350  suppimacnv  7351