MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnvfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnvfi 8404
Description: If a set is finite, its converse is as well. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnvfi (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem cnvfi
StepHypRef Expression
1 cnvcnvss 5730 . . 3 𝐴𝐴
2 ssfi 8336 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
31, 2mpan2 671 . 2 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
4 relcnv 5644 . . 3 Rel 𝐴
5 cnvexg 7259 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ V)
6 cnven 8185 . . 3 ((Rel 𝐴𝐴 ∈ V) → 𝐴𝐴)
74, 5, 6sylancr 575 . 2 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴𝐴)
8 enfii 8333 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
93, 7, 8syl2anc 573 1 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2145  Vcvv 3351  wss 3723   class class class wbr 4786  ccnv 5248  Rel wrel 5254  cen 8106  Fincfn 8109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-er 7896  df-en 8110  df-fin 8113
This theorem is referenced by:  rnfi  8405  fsumcnv  14712  fprodcnv  14920  gsumcom3  20422  gsummpt2co  30120
  Copyright terms: Public domain W3C validator