Theorem cnvexg 7154

Description: The converse of a set is a set. Corollary 6.8(1) of [TakeutiZaring] p. 26. (Contributed by NM, 17-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
cnvexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ◡𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem cnvexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5538	. . 3 ⊢ Rel ◡𝐴
2		relssdmrn 5694	. . 3 ⊢ (Rel ◡𝐴 → ◡𝐴 ⊆ (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ◡𝐴 ⊆ (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴)
4		df-rn 5154	. . . 4 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
5		rnexg 7140	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
6	4, 5	syl5eqelr 2735	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom ◡𝐴 ∈ V)
7		dfdm4 5348	. . . 4 ⊢ dom 𝐴 = ran ◡𝐴
8		dmexg 7139	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom 𝐴 ∈ V)
9	7, 8	syl5eqelr 2735	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ran ◡𝐴 ∈ V)
10		xpexg 7002	. . 3 ⊢ ((dom ◡𝐴 ∈ V ∧ ran ◡𝐴 ∈ V) → (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴) ∈ V)
11	6, 9, 10	syl2anc 694	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴) ∈ V)
12		ssexg 4837	. 2 ⊢ ((◡𝐴 ⊆ (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴) ∧ (dom ◡𝐴 × ran ◡𝐴) ∈ V) → ◡𝐴 ∈ V)
13	3, 11, 12	sylancr 696	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ◡𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607   × cxp 5141  ^◡ccnv 5142  dom cdm 5143  ran crn 5144  Rel wrel 5148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-dm 5153  df-rn 5154

This theorem is referenced by:  cnvex  7155  relcnvexb  7156  cofunex2g  7173  tposexg  7411  cnven  8073  cnvct  8074  fopwdom  8109  domssex2  8161  domssex  8162  cnvfi  8289  mapfienlem2  8352  wemapwe  8632  hasheqf1oi  13180  brtrclfvcnv  13789  brcnvtrclfvcnv  13790  relexpcnv  13819  relexpnnrn  13829  relexpaddg  13837  imasle  16230  cnvps  17259  gsumvalx  17317  symginv  17868  tposmap  20311  metustel  22402  metustss  22403  metustfbas  22409  metuel2  22417  psmetutop  22419  restmetu  22422  itg2gt0  23572  nlfnval  28868  ffsrn  29632  eulerpartlemgs2  30570  orvcval  30647  coinfliprv  30672  cossex  34314  cosscnvex  34315  cnvelrels  34385  lkrval  34693  pw2f1o2val  37923  lmhmlnmsplit  37974  cnvcnvintabd  38223  clrellem  38246  relexpaddss  38327  cnvtrclfv  38333  rntrclfvRP  38340  xpexb  38975  sge0f1o  40917  smfco  41330