Theorem cnvbraval 29097

Description: Value of the converse of the bra function. Based on the Riesz Lemma riesz4 29051, this very important theorem not only justifies the Dirac bra-ket notation, but allows us to extract a unique vector from any continuous linear functional from which the functional can be recovered; i.e. a single vector can "store" all of the information contained in any entire continuous linear functional (mapping from ℋ to ℂ). (Contributed by NM, 26-May-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cnvbraval	⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → (◡bra‘𝑇) = (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑇

Proof of Theorem cnvbraval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bra11 29095	. . . . . . . . . 10 ⊢ bra: ℋ–1-1-onto→(LinFn ∩ ContFn)
2		f1ocnvfv 6574	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((bra: ℋ–1-1-onto→(LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑦) = 𝑇 → (◡bra‘𝑇) = 𝑦))
3	1, 2	mpan 706	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((bra‘𝑦) = 𝑇 → (◡bra‘𝑇) = 𝑦))
4	3	imp 444	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (bra‘𝑦) = 𝑇) → (◡bra‘𝑇) = 𝑦)
5	4	oveq2d 6706	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (bra‘𝑦) = 𝑇) → (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
6	5	adantll 750	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (bra‘𝑦) = 𝑇) → (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
7		braval 28931	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑦)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦))
8	7	ancoms 468	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑦)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦))
9	8	adantll 750	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((bra‘𝑦)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦))
10	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (bra‘𝑦) = 𝑇) → ((bra‘𝑦)‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦))
11		fveq1 6228	. . . . . . 7 ⊢ ((bra‘𝑦) = 𝑇 → ((bra‘𝑦)‘𝑥) = (𝑇‘𝑥))
12	11	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (bra‘𝑦) = 𝑇) → ((bra‘𝑦)‘𝑥) = (𝑇‘𝑥))
13	6, 10, 12	3eqtr2rd 2692	. . . . 5 ⊢ ((((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ∈ ℋ) ∧ (bra‘𝑦) = 𝑇) → (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇)))
14		rnbra 29094	. . . . . . . 8 ⊢ ran bra = (LinFn ∩ ContFn)
15	14	eleq2i 2722	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ ran bra ↔ 𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn))
16		f1of 6175	. . . . . . . . . 10 ⊢ (bra: ℋ–1-1-onto→(LinFn ∩ ContFn) → bra: ℋ⟶(LinFn ∩ ContFn))
17	1, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ bra: ℋ⟶(LinFn ∩ ContFn)
18		ffn 6083	. . . . . . . . 9 ⊢ (bra: ℋ⟶(LinFn ∩ ContFn) → bra Fn ℋ)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ bra Fn ℋ
20		fvelrnb 6282	. . . . . . . 8 ⊢ (bra Fn ℋ → (𝑇 ∈ ran bra ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ (bra‘𝑦) = 𝑇))
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ ran bra ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ (bra‘𝑦) = 𝑇)
22	15, 21	sylbb1 227	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → ∃𝑦 ∈ ℋ (bra‘𝑦) = 𝑇)
23	22	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ∃𝑦 ∈ ℋ (bra‘𝑦) = 𝑇)
24	13, 23	r19.29a 3107	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇)))
25	24	ralrimiva 2995	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇)))
26		f1ocnvdm 6580	. . . . 5 ⊢ ((bra: ℋ–1-1-onto→(LinFn ∩ ContFn) ∧ 𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn)) → (◡bra‘𝑇) ∈ ℋ)
27	1, 26	mpan 706	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → (◡bra‘𝑇) ∈ ℋ)
28		riesz4 29051	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → ∃!𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦))
29		oveq2 6698	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (◡bra‘𝑇) → (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇)))
30	29	eqeq2d 2661	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (◡bra‘𝑇) → ((𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) ↔ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇))))
31	30	ralbidv 3015	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (◡bra‘𝑇) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇))))
32	31	riota2 6673	. . . 4 ⊢ (((◡bra‘𝑇) ∈ ℋ ∧ ∃!𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇)) ↔ (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)) = (◡bra‘𝑇)))
33	27, 28, 32	syl2anc 694	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → (∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih (◡bra‘𝑇)) ↔ (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)) = (◡bra‘𝑇)))
34	25, 33	mpbid 222	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)) = (◡bra‘𝑇))
35	34	eqcomd 2657	1 ⊢ (𝑇 ∈ (LinFn ∩ ContFn) → (◡bra‘𝑇) = (℩𝑦 ∈ ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘𝑥) = (𝑥 ·ih 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  ∃wrex 2942  ∃!wreu 2943   ∩ cin 3606  ^◡ccnv 5142  ran crn 5144   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  –1-1-onto→wf1o 5925  ‘cfv 5926  ℩crio 6650  (class class class)co 6690   ℋchil 27904   ·_ih csp 27907  ContFnccnfn 27938  LinFnclf 27939  bracbr 27941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054  ax-hilex 27984  ax-hfvadd 27985  ax-hvcom 27986  ax-hvass 27987  ax-hv0cl 27988  ax-hvaddid 27989  ax-hfvmul 27990  ax-hvmulid 27991  ax-hvmulass 27992  ax-hvdistr1 27993  ax-hvdistr2 27994  ax-hvmul0 27995  ax-hfi 28064  ax-his1 28067  ax-his2 28068  ax-his3 28069  ax-his4 28070  ax-hcompl 28187

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-lm 21081  df-t1 21166  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cfil 23099  df-cau 23100  df-cmet 23101  df-grpo 27475  df-gid 27476  df-ginv 27477  df-gdiv 27478  df-ablo 27527  df-vc 27542  df-nv 27575  df-va 27578  df-ba 27579  df-sm 27580  df-0v 27581  df-vs 27582  df-nmcv 27583  df-ims 27584  df-dip 27684  df-ssp 27705  df-ph 27796  df-cbn 27847  df-hnorm 27953  df-hba 27954  df-hvsub 27956  df-hlim 27957  df-hcau 27958  df-sh 28192  df-ch 28206  df-oc 28237  df-ch0 28238  df-nmfn 28832  df-nlfn 28833  df-cnfn 28834  df-lnfn 28835  df-bra 28837

This theorem is referenced by:  bracnlnval  29101