Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cntzsdrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntzsdrg 38089
Description: Centralizers in division rings/fields are subfields. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzsdrg.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
cntzsdrg.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
cntzsdrg.z 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
cntzsdrg ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ∈ (SubDRing‘𝑅))

Proof of Theorem cntzsdrg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) → 𝑅 ∈ DivRing)
2 drngring 18802 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
3 cntzsdrg.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 cntzsdrg.m . . . 4 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
5 cntzsdrg.z . . . 4 𝑍 = (Cntz‘𝑀)
63, 4, 5cntzsubr 18860 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅))
72, 6sylan 487 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅))
8 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑦 = (0g𝑅) → (((invr𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑦) = (((invr𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)(0g𝑅)))
9 oveq1 6697 . . . . . . 7 (𝑦 = (0g𝑅) → (𝑦(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑥)) = ((0g𝑅)(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑥)))
108, 9eqeq12d 2666 . . . . . 6 (𝑦 = (0g𝑅) → ((((invr𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑦) = (𝑦(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑥)) ↔ (((invr𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)(0g𝑅)) = ((0g𝑅)(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑥))))
11 eldifsn 4350 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {(0g𝑅)}) ↔ (𝑦𝑆𝑦 ≠ (0g𝑅)))
12 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
134oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀s (Unit‘𝑅)) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
14 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 (invr𝑅) = (invr𝑅)
1512, 13, 14invrfval 18719 . . . . . . . . . . . . 13 (invr𝑅) = (invg‘(𝑀s (Unit‘𝑅)))
16 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0g𝑅) = (0g𝑅)
173, 12, 16isdrng 18799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))
1817simprbi 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ DivRing → (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))
1918oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ DivRing → (𝑀s (Unit‘𝑅)) = (𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))
2019fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ DivRing → (invg‘(𝑀s (Unit‘𝑅))) = (invg‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))))
2115, 20syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ DivRing → (invr𝑅) = (invg‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))))
2221ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) → (invr𝑅) = (invg‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))))
2322fveq1d 6231 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) → ((invr𝑅)‘𝑥) = ((invg‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))‘𝑥))
244oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))
253, 16, 24drngmgp 18807 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ DivRing → (𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})) ∈ Grp)
2625ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) → (𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})) ∈ Grp)
27 ssdif 3778 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆𝐵 → (𝑆 ∖ {(0g𝑅)}) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))
2827ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) → (𝑆 ∖ {(0g𝑅)}) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))
29 difss 3770 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}) ⊆ 𝐵
30 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})) = (𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))
314, 3mgpbas 18541 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 = (Base‘𝑀)
3230, 31ressbas2 15978 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∖ {(0g𝑅)}) ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}) = (Base‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))))
3329, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}) = (Base‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))
34 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 (Cntz‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))) = (Cntz‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))
3533, 34cntzsubg 17815 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})) ∈ Grp ∧ (𝑆 ∖ {(0g𝑅)}) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})) → ((Cntz‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g𝑅)})) ∈ (SubGrp‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))))
3626, 28, 35syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) → ((Cntz‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g𝑅)})) ∈ (SubGrp‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))))
37 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) → 𝑆𝐵)
38 difss 3770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 ∖ {(0g𝑅)}) ⊆ 𝑆
3931, 5cntz2ss 17811 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆𝐵 ∧ (𝑆 ∖ {(0g𝑅)}) ⊆ 𝑆) → (𝑍𝑆) ⊆ (𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g𝑅)})))
4037, 38, 39sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ⊆ (𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g𝑅)})))
4140ssdifssd 3781 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) → ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)}) ⊆ (𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g𝑅)})))
4241sselda 3636 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) → 𝑥 ∈ (𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g𝑅)})))
4331, 5cntzssv 17807 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑍𝑆) ⊆ 𝐵
44 ssdif 3778 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑍𝑆) ⊆ 𝐵 → ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)}) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))
4543, 44mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) → ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)}) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))
4645sselda 3636 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))
4742, 46elind 3831 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) → 𝑥 ∈ ((𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g𝑅)})) ∩ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))
48 fvex 6239 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝑅) ∈ V
493, 48eqeltri 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 ∈ V
50 difexg 4841 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}) ∈ V)
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}) ∈ V
5230, 5, 34resscntz 17810 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∖ {(0g𝑅)}) ∈ V ∧ (𝑆 ∖ {(0g𝑅)}) ⊆ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})) → ((Cntz‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g𝑅)})) = ((𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g𝑅)})) ∩ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))
5351, 28, 52sylancr 696 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) → ((Cntz‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g𝑅)})) = ((𝑍‘(𝑆 ∖ {(0g𝑅)})) ∩ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))
5447, 53eleqtrrd 2733 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) → 𝑥 ∈ ((Cntz‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g𝑅)})))
55 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (invg‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))) = (invg‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))
5655subginvcl 17650 . . . . . . . . . . 11 ((((Cntz‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g𝑅)})) ∈ (SubGrp‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))) ∧ 𝑥 ∈ ((Cntz‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g𝑅)}))) → ((invg‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))‘𝑥) ∈ ((Cntz‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g𝑅)})))
5736, 54, 56syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) → ((invg‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))‘𝑥) ∈ ((Cntz‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g𝑅)})))
5823, 57eqeltrd 2730 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) → ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ ((Cntz‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g𝑅)})))
59 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 (.r𝑅) = (.r𝑅)
604, 59mgpplusg 18539 . . . . . . . . . . . 12 (.r𝑅) = (+g𝑀)
6130, 60ressplusg 16040 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∖ {(0g𝑅)}) ∈ V → (.r𝑅) = (+g‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))))
6251, 61ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (+g‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))
6362, 34cntzi 17808 . . . . . . . . 9 ((((invr𝑅)‘𝑥) ∈ ((Cntz‘(𝑀s (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))‘(𝑆 ∖ {(0g𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {(0g𝑅)})) → (((invr𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑦) = (𝑦(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑥)))
6458, 63sylan 487 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {(0g𝑅)})) → (((invr𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑦) = (𝑦(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑥)))
6511, 64sylan2br 492 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) ∧ (𝑦𝑆𝑦 ≠ (0g𝑅))) → (((invr𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑦) = (𝑦(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑥)))
6665anassrs 681 . . . . . 6 (((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑅)) → (((invr𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑦) = (𝑦(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑥)))
672ad3antrrr 766 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
681adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) → 𝑅 ∈ DivRing)
69 eldifi 3765 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)}) → 𝑥 ∈ (𝑍𝑆))
7069adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) → 𝑥 ∈ (𝑍𝑆))
7143, 70sseldi 3634 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) → 𝑥𝐵)
72 eldifsni 4353 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)}) → 𝑥 ≠ (0g𝑅))
7372adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) → 𝑥 ≠ (0g𝑅))
743, 16, 14drnginvrcl 18812 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥𝐵𝑥 ≠ (0g𝑅)) → ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
7568, 71, 73, 74syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) → ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
7675adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) ∧ 𝑦𝑆) → ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
773, 59, 16ringrz 18634 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵) → (((invr𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
7867, 76, 77syl2anc 694 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) ∧ 𝑦𝑆) → (((invr𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
793, 59, 16ringlz 18633 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵) → ((0g𝑅)(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑥)) = (0g𝑅))
8067, 76, 79syl2anc 694 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) ∧ 𝑦𝑆) → ((0g𝑅)(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑥)) = (0g𝑅))
8178, 80eqtr4d 2688 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) ∧ 𝑦𝑆) → (((invr𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)(0g𝑅)) = ((0g𝑅)(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑥)))
8210, 66, 81pm2.61ne 2908 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) ∧ 𝑦𝑆) → (((invr𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑦) = (𝑦(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑥)))
8382ralrimiva 2995 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) → ∀𝑦𝑆 (((invr𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑦) = (𝑦(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑥)))
84 simplr 807 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) → 𝑆𝐵)
8531, 60, 5cntzel 17802 . . . . 5 ((𝑆𝐵 ∧ ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵) → (((invr𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑦𝑆 (((invr𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑦) = (𝑦(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑥))))
8684, 75, 85syl2anc 694 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) → (((invr𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑦𝑆 (((invr𝑅)‘𝑥)(.r𝑅)𝑦) = (𝑦(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑥))))
8783, 86mpbird 247 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})) → ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆))
8887ralrimiva 2995 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) → ∀𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆))
8914, 16issdrg2 38085 . 2 ((𝑍𝑆) ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑍𝑆) ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ ((𝑍𝑆) ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ (𝑍𝑆)))
901, 7, 88, 89syl3anbrc 1265 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ∈ (SubDRing‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  Vcvv 3231  cdif 3604  cin 3606  wss 3607  {csn 4210  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  s cress 15905  +gcplusg 15988  .rcmulr 15989  0gc0g 16147  Grpcgrp 17469  invgcminusg 17470  SubGrpcsubg 17635  Cntzccntz 17794  mulGrpcmgp 18535  Ringcrg 18593  Unitcui 18685  invrcinvr 18717  DivRingcdr 18795  SubRingcsubrg 18824  SubDRingcsdrg 38082
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-drng 18797  df-subrg 18826  df-sdrg 38083
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator