MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzcmn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntzcmn 18452
Description: The centralizer of any subset in a commutative monoid is the whole monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzcmn.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
cntzcmn.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
cntzcmn ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) = 𝐵)

Proof of Theorem cntzcmn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntzcmn.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 cntzcmn.z . . . 4 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
31, 2cntzssv 17968 . . 3 (𝑍𝑆) ⊆ 𝐵
43a1i 11 . 2 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) ⊆ 𝐵)
5 simpl1 1227 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝐺 ∈ CMnd)
6 simpl3 1231 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑥𝐵)
7 simp2 1131 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵𝑥𝐵) → 𝑆𝐵)
87sselda 3752 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦𝐵)
9 eqid 2771 . . . . . . . 8 (+g𝐺) = (+g𝐺)
101, 9cmncom 18416 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
115, 6, 8, 10syl3anc 1476 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
1211ralrimiva 3115 . . . . 5 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵𝑥𝐵) → ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥))
131, 9, 2cntzel 17963 . . . . . 6 ((𝑆𝐵𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
14133adant1 1124 . . . . 5 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (𝑍𝑆) ↔ ∀𝑦𝑆 (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑦(+g𝐺)𝑥)))
1512, 14mpbird 247 . . . 4 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (𝑍𝑆))
16153expia 1114 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵) → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (𝑍𝑆)))
1716ssrdv 3758 . 2 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵) → 𝐵 ⊆ (𝑍𝑆))
184, 17eqssd 3769 1 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑆𝐵) → (𝑍𝑆) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wss 3723  cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  Cntzccntz 17955  CMndccmn 18400
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-cntz 17957  df-cmn 18402
This theorem is referenced by:  cntzcmnss  18453  cntzcmnf  18455  ablcntzd  18467  gsumadd  18530
  Copyright terms: Public domain W3C validator