Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cntnevol Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntnevol 30419
 Description: Counting and Lebesgue measures are different. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
cntnevol (# ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol

Proof of Theorem cntnevol
StepHypRef Expression
1 ax-1ne0 10043 . . . . 5 1 ≠ 0
21a1i 11 . . . 4 (1 ∈ 𝑂 → 1 ≠ 0)
3 snelpwi 4942 . . . . . 6 (1 ∈ 𝑂 → {1} ∈ 𝒫 𝑂)
4 fvres 6245 . . . . . 6 ({1} ∈ 𝒫 𝑂 → ((# ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) = (#‘{1}))
53, 4syl 17 . . . . 5 (1 ∈ 𝑂 → ((# ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) = (#‘{1}))
6 1re 10077 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
7 hashsng 13197 . . . . . 6 (1 ∈ ℝ → (#‘{1}) = 1)
86, 7ax-mp 5 . . . . 5 (#‘{1}) = 1
95, 8syl6eq 2701 . . . 4 (1 ∈ 𝑂 → ((# ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) = 1)
10 snssi 4371 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ → {1} ⊆ ℝ)
11 ovolsn 23309 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ → (vol*‘{1}) = 0)
12 nulmbl 23349 . . . . . . 7 (({1} ⊆ ℝ ∧ (vol*‘{1}) = 0) → {1} ∈ dom vol)
1310, 11, 12syl2anc 694 . . . . . 6 (1 ∈ ℝ → {1} ∈ dom vol)
14 mblvol 23344 . . . . . . 7 ({1} ∈ dom vol → (vol‘{1}) = (vol*‘{1}))
156, 11ax-mp 5 . . . . . . 7 (vol*‘{1}) = 0
1614, 15syl6eq 2701 . . . . . 6 ({1} ∈ dom vol → (vol‘{1}) = 0)
176, 13, 16mp2b 10 . . . . 5 (vol‘{1}) = 0
1817a1i 11 . . . 4 (1 ∈ 𝑂 → (vol‘{1}) = 0)
192, 9, 183netr4d 2900 . . 3 (1 ∈ 𝑂 → ((# ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) ≠ (vol‘{1}))
20 fveq1 6228 . . . 4 ((# ↾ 𝒫 𝑂) = vol → ((# ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) = (vol‘{1}))
2120necon3i 2855 . . 3 (((# ↾ 𝒫 𝑂)‘{1}) ≠ (vol‘{1}) → (# ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol)
2219, 21syl 17 . 2 (1 ∈ 𝑂 → (# ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol)
236, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 {1} ∈ dom vol
2423biantrur 526 . . . . . 6 (¬ {1} ∈ dom (# ↾ 𝒫 𝑂) ↔ ({1} ∈ dom vol ∧ ¬ {1} ∈ dom (# ↾ 𝒫 𝑂)))
25 snex 4938 . . . . . . . . 9 {1} ∈ V
2625elpw 4197 . . . . . . . 8 ({1} ∈ 𝒫 𝑂 ↔ {1} ⊆ 𝑂)
27 dmhashres 13169 . . . . . . . . 9 dom (# ↾ 𝒫 𝑂) = 𝒫 𝑂
2827eleq2i 2722 . . . . . . . 8 ({1} ∈ dom (# ↾ 𝒫 𝑂) ↔ {1} ∈ 𝒫 𝑂)
29 1ex 10073 . . . . . . . . 9 1 ∈ V
3029snss 4348 . . . . . . . 8 (1 ∈ 𝑂 ↔ {1} ⊆ 𝑂)
3126, 28, 303bitr4i 292 . . . . . . 7 ({1} ∈ dom (# ↾ 𝒫 𝑂) ↔ 1 ∈ 𝑂)
3231notbii 309 . . . . . 6 (¬ {1} ∈ dom (# ↾ 𝒫 𝑂) ↔ ¬ 1 ∈ 𝑂)
3324, 32bitr3i 266 . . . . 5 (({1} ∈ dom vol ∧ ¬ {1} ∈ dom (# ↾ 𝒫 𝑂)) ↔ ¬ 1 ∈ 𝑂)
34 nelne1 2919 . . . . 5 (({1} ∈ dom vol ∧ ¬ {1} ∈ dom (# ↾ 𝒫 𝑂)) → dom vol ≠ dom (# ↾ 𝒫 𝑂))
3533, 34sylbir 225 . . . 4 (¬ 1 ∈ 𝑂 → dom vol ≠ dom (# ↾ 𝒫 𝑂))
3635necomd 2878 . . 3 (¬ 1 ∈ 𝑂 → dom (# ↾ 𝒫 𝑂) ≠ dom vol)
37 dmeq 5356 . . . 4 ((# ↾ 𝒫 𝑂) = vol → dom (# ↾ 𝒫 𝑂) = dom vol)
3837necon3i 2855 . . 3 (dom (# ↾ 𝒫 𝑂) ≠ dom vol → (# ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol)
3936, 38syl 17 . 2 (¬ 1 ∈ 𝑂 → (# ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol)
4022, 39pm2.61i 176 1 (# ↾ 𝒫 𝑂) ≠ vol
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823   ⊆ wss 3607  𝒫 cpw 4191  {csn 4210  dom cdm 5143   ↾ cres 5145  ‘cfv 5926  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975  #chash 13157  vol*covol 23277  volcvol 23278 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xadd 11985  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-xmet 19787  df-met 19788  df-ovol 23279  df-vol 23280 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator