MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnt1 21202
Description: The preimage of a T1 topology under an injective map is T1. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnt1 ((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Fre)

Proof of Theorem cnt1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntop1 21092 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
213ad2ant3 1104 . 2 ((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Top)
3 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 𝐽 = 𝐽
4 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 𝐾 = 𝐾
53, 4cnf 21098 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹: 𝐽 𝐾)
653ad2ant3 1104 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹: 𝐽 𝐾)
7 ffn 6083 . . . . . . . 8 (𝐹: 𝐽 𝐾𝐹 Fn 𝐽)
86, 7syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹 Fn 𝐽)
9 fnsnfv 6297 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝐽𝑥 𝐽) → {(𝐹𝑥)} = (𝐹 “ {𝑥}))
108, 9sylan 487 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 𝐽) → {(𝐹𝑥)} = (𝐹 “ {𝑥}))
1110imaeq2d 5501 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 𝐽) → (𝐹 “ {(𝐹𝑥)}) = (𝐹 “ (𝐹 “ {𝑥})))
12 simpl2 1085 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 𝐽) → 𝐹:𝑋1-1𝑌)
13 fdm 6089 . . . . . . . . . . 11 (𝐹: 𝐽 𝐾 → dom 𝐹 = 𝐽)
146, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → dom 𝐹 = 𝐽)
15 f1dm 6143 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑋1-1𝑌 → dom 𝐹 = 𝑋)
16153ad2ant2 1103 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → dom 𝐹 = 𝑋)
1714, 16eqtr3d 2687 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 = 𝑋)
1817eleq2d 2716 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → (𝑥 𝐽𝑥𝑋))
1918biimpa 500 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 𝐽) → 𝑥𝑋)
2019snssd 4372 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 𝐽) → {𝑥} ⊆ 𝑋)
21 f1imacnv 6191 . . . . . 6 ((𝐹:𝑋1-1𝑌 ∧ {𝑥} ⊆ 𝑋) → (𝐹 “ (𝐹 “ {𝑥})) = {𝑥})
2212, 20, 21syl2anc 694 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 𝐽) → (𝐹 “ (𝐹 “ {𝑥})) = {𝑥})
2311, 22eqtrd 2685 . . . 4 (((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 𝐽) → (𝐹 “ {(𝐹𝑥)}) = {𝑥})
24 simpl3 1086 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 𝐽) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
25 simpl1 1084 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 𝐽) → 𝐾 ∈ Fre)
266ffvelrnda 6399 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 𝐽) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾)
274t1sncld 21178 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Fre ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐾) → {(𝐹𝑥)} ∈ (Clsd‘𝐾))
2825, 26, 27syl2anc 694 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 𝐽) → {(𝐹𝑥)} ∈ (Clsd‘𝐾))
29 cnclima 21120 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ {(𝐹𝑥)} ∈ (Clsd‘𝐾)) → (𝐹 “ {(𝐹𝑥)}) ∈ (Clsd‘𝐽))
3024, 28, 29syl2anc 694 . . . 4 (((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 𝐽) → (𝐹 “ {(𝐹𝑥)}) ∈ (Clsd‘𝐽))
3123, 30eqeltrrd 2731 . . 3 (((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ 𝑥 𝐽) → {𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽))
3231ralrimiva 2995 . 2 ((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ∀𝑥 𝐽{𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽))
333ist1 21173 . 2 (𝐽 ∈ Fre ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 𝐽{𝑥} ∈ (Clsd‘𝐽)))
342, 32, 33sylanbrc 699 1 ((𝐾 ∈ Fre ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Fre)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wss 3607  {csn 4210   cuni 4468  ccnv 5142  dom cdm 5143  cima 5146   Fn wfn 5921  wf 5922  1-1wf1 5923  cfv 5926  (class class class)co 6690  Topctop 20746  Clsdccld 20868   Cn ccn 21076  Frect1 21159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-map 7901  df-top 20747  df-topon 20764  df-cld 20871  df-cn 21079  df-t1 21166
This theorem is referenced by:  restt1  21219  sst1  21226  t1hmph  21642
  Copyright terms: Public domain W3C validator