MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnt0 21372
Description: The preimage of a T0 topology under an injective map is T0. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnt0 ((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Kol2)

Proof of Theorem cnt0
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntop1 21266 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
213ad2ant3 1130 . 2 ((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Top)
3 simpl3 1232 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
4 cnima 21291 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑤𝐾) → (𝐹𝑤) ∈ 𝐽)
53, 4sylan 489 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) ∧ 𝑤𝐾) → (𝐹𝑤) ∈ 𝐽)
6 eleq2 2828 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝐹𝑤) → (𝑥𝑧𝑥 ∈ (𝐹𝑤)))
7 eleq2 2828 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝐹𝑤) → (𝑦𝑧𝑦 ∈ (𝐹𝑤)))
86, 7bibi12d 334 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝐹𝑤) → ((𝑥𝑧𝑦𝑧) ↔ (𝑥 ∈ (𝐹𝑤) ↔ 𝑦 ∈ (𝐹𝑤))))
98rspcv 3445 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑤) ∈ 𝐽 → (∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧) → (𝑥 ∈ (𝐹𝑤) ↔ 𝑦 ∈ (𝐹𝑤))))
105, 9syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) ∧ 𝑤𝐾) → (∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧) → (𝑥 ∈ (𝐹𝑤) ↔ 𝑦 ∈ (𝐹𝑤))))
11 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐽 = 𝐽
12 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = 𝐾
1311, 12cnf 21272 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹: 𝐽 𝐾)
143, 13syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → 𝐹: 𝐽 𝐾)
15 ffn 6206 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹: 𝐽 𝐾𝐹 Fn 𝐽)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → 𝐹 Fn 𝐽)
17 elpreima 6501 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn 𝐽 → (𝑥 ∈ (𝐹𝑤) ↔ (𝑥 𝐽 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑤)))
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (𝑥 ∈ (𝐹𝑤) ↔ (𝑥 𝐽 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑤)))
19 simprl 811 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → 𝑥 𝐽)
2019biantrurd 530 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝑥 𝐽 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑤)))
2118, 20bitr4d 271 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (𝑥 ∈ (𝐹𝑤) ↔ (𝐹𝑥) ∈ 𝑤))
22 elpreima 6501 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn 𝐽 → (𝑦 ∈ (𝐹𝑤) ↔ (𝑦 𝐽 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)))
2316, 22syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (𝑦 ∈ (𝐹𝑤) ↔ (𝑦 𝐽 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)))
24 simprr 813 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → 𝑦 𝐽)
2524biantrurd 530 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑤 ↔ (𝑦 𝐽 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)))
2623, 25bitr4d 271 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (𝑦 ∈ (𝐹𝑤) ↔ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤))
2721, 26bibi12d 334 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → ((𝑥 ∈ (𝐹𝑤) ↔ 𝑦 ∈ (𝐹𝑤)) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)))
2827adantr 472 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) ∧ 𝑤𝐾) → ((𝑥 ∈ (𝐹𝑤) ↔ 𝑦 ∈ (𝐹𝑤)) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)))
2910, 28sylibd 229 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) ∧ 𝑤𝐾) → (∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧) → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)))
3029ralrimdva 3107 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧) → ∀𝑤𝐾 ((𝐹𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)))
31 simpl1 1228 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → 𝐾 ∈ Kol2)
3214, 19ffvelrnd 6524 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾)
3314, 24ffvelrnd 6524 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐾)
3412t0sep 21350 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Kol2 ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝐾 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐾)) → (∀𝑤𝐾 ((𝐹𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)))
3531, 32, 33, 34syl12anc 1475 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (∀𝑤𝐾 ((𝐹𝑥) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)))
3630, 35syld 47 . . . 4 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)))
37 simpl2 1230 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → 𝐹:𝑋1-1𝑌)
38 fdm 6212 . . . . . . . 8 (𝐹: 𝐽 𝐾 → dom 𝐹 = 𝐽)
3914, 38syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → dom 𝐹 = 𝐽)
40 f1dm 6266 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑋1-1𝑌 → dom 𝐹 = 𝑋)
4137, 40syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → dom 𝐹 = 𝑋)
4239, 41eqtr3d 2796 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → 𝐽 = 𝑋)
4319, 42eleqtrd 2841 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → 𝑥𝑋)
4424, 42eleqtrd 2841 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → 𝑦𝑋)
45 f1fveq 6683 . . . . 5 ((𝐹:𝑋1-1𝑌 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
4637, 43, 44, 45syl12anc 1475 . . . 4 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
4736, 46sylibd 229 . . 3 (((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧) → 𝑥 = 𝑦))
4847ralrimivva 3109 . 2 ((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧) → 𝑥 = 𝑦))
4911ist0 21346 . 2 (𝐽 ∈ Kol2 ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(∀𝑧𝐽 (𝑥𝑧𝑦𝑧) → 𝑥 = 𝑦)))
502, 48, 49sylanbrc 701 1 ((𝐾 ∈ Kol2 ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Kol2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050   cuni 4588  ccnv 5265  dom cdm 5266  cima 5269   Fn wfn 6044  wf 6045  1-1wf1 6046  cfv 6049  (class class class)co 6814  Topctop 20920   Cn ccn 21250  Kol2ct0 21332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-map 8027  df-top 20921  df-topon 20938  df-cn 21253  df-t0 21339
This theorem is referenced by:  restt0  21392  sst0  21399  t0hmph  21815
  Copyright terms: Public domain W3C validator