MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnsubglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnsubglem 19918
Description: Lemma for resubdrg 20077 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnsubglem.1 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℂ)
cnsubglem.2 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
cnsubglem.3 (𝑥𝐴 → -𝑥𝐴)
cnsubglem.4 𝐵𝐴
Assertion
Ref Expression
cnsubglem 𝐴 ∈ (SubGrp‘ℂfld)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cnsubglem
StepHypRef Expression
1 cnsubglem.1 . . 3 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℂ)
21ssriv 3713 . 2 𝐴 ⊆ ℂ
3 cnsubglem.4 . . 3 𝐵𝐴
43ne0ii 4031 . 2 𝐴 ≠ ∅
5 cnsubglem.2 . . . . 5 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
65ralrimiva 3068 . . . 4 (𝑥𝐴 → ∀𝑦𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
7 cnfldneg 19895 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘𝑥) = -𝑥)
81, 7syl 17 . . . . 5 (𝑥𝐴 → ((invg‘ℂfld)‘𝑥) = -𝑥)
9 cnsubglem.3 . . . . 5 (𝑥𝐴 → -𝑥𝐴)
108, 9eqeltrd 2803 . . . 4 (𝑥𝐴 → ((invg‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)
116, 10jca 555 . . 3 (𝑥𝐴 → (∀𝑦𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invg‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴))
1211rgen 3024 . 2 𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invg‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)
13 cnring 19891 . . . 4 fld ∈ Ring
14 ringgrp 18673 . . . 4 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
1513, 14ax-mp 5 . . 3 fld ∈ Grp
16 cnfldbas 19873 . . . 4 ℂ = (Base‘ℂfld)
17 cnfldadd 19874 . . . 4 + = (+g‘ℂfld)
18 eqid 2724 . . . 4 (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
1916, 17, 18issubg2 17731 . . 3 (ℂfld ∈ Grp → (𝐴 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ↔ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invg‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴))))
2015, 19ax-mp 5 . 2 (𝐴 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ↔ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ ((invg‘ℂfld)‘𝑥) ∈ 𝐴)))
212, 4, 12, 20mpbir3an 1381 1 𝐴 ∈ (SubGrp‘ℂfld)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  wne 2896  wral 3014  wss 3680  c0 4023  cfv 6001  (class class class)co 6765  cc 10047   + caddc 10052  -cneg 10380  Grpcgrp 17544  invgcminusg 17545  SubGrpcsubg 17710  Ringcrg 18668  fldccnfld 19869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-addf 10128  ax-mulf 10129
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-fz 12441  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-0g 16225  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-grp 17547  df-minusg 17548  df-subg 17713  df-cmn 18316  df-mgp 18611  df-ring 18670  df-cring 18671  df-cnfld 19870
This theorem is referenced by:  cnsubrglem  19919  zringmulg  19949  remulg  20076
  Copyright terms: Public domain W3C validator