Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnsrplycl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnsrplycl 38257
Description: Polynomials are closed in number rings. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnsrplycl.s (𝜑𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
cnsrplycl.p (𝜑𝑃 ∈ (Poly‘𝐶))
cnsrplycl.x (𝜑𝑋𝑆)
cnsrplycl.c (𝜑𝐶𝑆)
Assertion
Ref Expression
cnsrplycl (𝜑 → (𝑃𝑋) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem cnsrplycl
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnsrplycl.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑆)
2 cnsrplycl.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
3 cnfldbas 19972 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
43subrgss 19003 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑆 ⊆ ℂ)
52, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
6 plyss 24174 . . . . 5 ((𝐶𝑆𝑆 ⊆ ℂ) → (Poly‘𝐶) ⊆ (Poly‘𝑆))
71, 5, 6syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → (Poly‘𝐶) ⊆ (Poly‘𝑆))
8 cnsrplycl.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ (Poly‘𝐶))
97, 8sseldd 3745 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ (Poly‘𝑆))
10 cnsrplycl.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑆)
115, 10sseldd 3745 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
12 eqid 2760 . . . 4 (coeff‘𝑃) = (coeff‘𝑃)
13 eqid 2760 . . . 4 (deg‘𝑃) = (deg‘𝑃)
1412, 13coeid2 24214 . . 3 ((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (𝑃𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))(((coeff‘𝑃)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))
159, 11, 14syl2anc 696 . 2 (𝜑 → (𝑃𝑋) = Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))(((coeff‘𝑃)‘𝑘) · (𝑋𝑘)))
16 fzfid 12986 . . 3 (𝜑 → (0...(deg‘𝑃)) ∈ Fin)
172adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → 𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
18 subrgsubg 19008 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
19 cnfld0 19992 . . . . . . . . 9 0 = (0g‘ℂfld)
2019subg0cl 17823 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 0 ∈ 𝑆)
212, 18, 203syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
2212coef2 24206 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 0 ∈ 𝑆) → (coeff‘𝑃):ℕ0𝑆)
239, 21, 22syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → (coeff‘𝑃):ℕ0𝑆)
2423adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → (coeff‘𝑃):ℕ0𝑆)
25 elfznn0 12646 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2625adantl 473 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2724, 26ffvelrnd 6524 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → ((coeff‘𝑃)‘𝑘) ∈ 𝑆)
2810adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → 𝑋𝑆)
2917, 28, 26cnsrexpcl 38255 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → (𝑋𝑘) ∈ 𝑆)
30 cnfldmul 19974 . . . . 5 · = (.r‘ℂfld)
3130subrgmcl 19014 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ((coeff‘𝑃)‘𝑘) ∈ 𝑆 ∧ (𝑋𝑘) ∈ 𝑆) → (((coeff‘𝑃)‘𝑘) · (𝑋𝑘)) ∈ 𝑆)
3217, 27, 29, 31syl3anc 1477 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))) → (((coeff‘𝑃)‘𝑘) · (𝑋𝑘)) ∈ 𝑆)
332, 16, 32fsumcnsrcl 38256 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(deg‘𝑃))(((coeff‘𝑃)‘𝑘) · (𝑋𝑘)) ∈ 𝑆)
3415, 33eqeltrd 2839 1 (𝜑 → (𝑃𝑋) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wss 3715  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  0cc0 10148   · cmul 10153  0cn0 11504  ...cfz 12539  cexp 13074  Σcsu 14635  SubGrpcsubg 17809  SubRingcsubrg 18998  fldccnfld 19968  Polycply 24159  coeffccoe 24161  degcdgr 24162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-rp 12046  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-subg 17812  df-cmn 18415  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-cring 18770  df-subrg 19000  df-cnfld 19969  df-0p 23656  df-ply 24163  df-coe 24165  df-dgr 24166
This theorem is referenced by:  rngunsnply  38263
  Copyright terms: Public domain W3C validator