Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnsrexpcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnsrexpcl 38052
Description: Exponentiation is closed in number rings. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnsrexpcl.s (𝜑𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
cnsrexpcl.x (𝜑𝑋𝑆)
cnsrexpcl.y (𝜑𝑌 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
cnsrexpcl (𝜑 → (𝑋𝑌) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem cnsrexpcl
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnsrexpcl.y . 2 (𝜑𝑌 ∈ ℕ0)
2 oveq2 6698 . . . . 5 (𝑎 = 0 → (𝑋𝑎) = (𝑋↑0))
32eleq1d 2715 . . . 4 (𝑎 = 0 → ((𝑋𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝑋↑0) ∈ 𝑆))
43imbi2d 329 . . 3 (𝑎 = 0 → ((𝜑 → (𝑋𝑎) ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 → (𝑋↑0) ∈ 𝑆)))
5 oveq2 6698 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (𝑋𝑎) = (𝑋𝑏))
65eleq1d 2715 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → ((𝑋𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝑋𝑏) ∈ 𝑆))
76imbi2d 329 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → ((𝜑 → (𝑋𝑎) ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 → (𝑋𝑏) ∈ 𝑆)))
8 oveq2 6698 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝑋𝑎) = (𝑋↑(𝑏 + 1)))
98eleq1d 2715 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝑋𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆))
109imbi2d 329 . . 3 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝜑 → (𝑋𝑎) ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 → (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆)))
11 oveq2 6698 . . . . 5 (𝑎 = 𝑌 → (𝑋𝑎) = (𝑋𝑌))
1211eleq1d 2715 . . . 4 (𝑎 = 𝑌 → ((𝑋𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝑋𝑌) ∈ 𝑆))
1312imbi2d 329 . . 3 (𝑎 = 𝑌 → ((𝜑 → (𝑋𝑎) ∈ 𝑆) ↔ (𝜑 → (𝑋𝑌) ∈ 𝑆)))
14 cnsrexpcl.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
15 cnfldbas 19798 . . . . . . . 8 ℂ = (Base‘ℂfld)
1615subrgss 18829 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑆 ⊆ ℂ)
1714, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
18 cnsrexpcl.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑆)
1917, 18sseldd 3637 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
2019exp0d 13042 . . . 4 (𝜑 → (𝑋↑0) = 1)
21 cnfld1 19819 . . . . . 6 1 = (1r‘ℂfld)
2221subrg1cl 18836 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 1 ∈ 𝑆)
2314, 22syl 17 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ 𝑆)
2420, 23eqeltrd 2730 . . 3 (𝜑 → (𝑋↑0) ∈ 𝑆)
25193ad2ant2 1103 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ (𝑋𝑏) ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ ℂ)
26 simp1 1081 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ (𝑋𝑏) ∈ 𝑆) → 𝑏 ∈ ℕ0)
2725, 26expp1d 13049 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ (𝑋𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑋↑(𝑏 + 1)) = ((𝑋𝑏) · 𝑋))
28143ad2ant2 1103 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ (𝑋𝑏) ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
29 simp3 1083 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ (𝑋𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑋𝑏) ∈ 𝑆)
30183ad2ant2 1103 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ (𝑋𝑏) ∈ 𝑆) → 𝑋𝑆)
31 cnfldmul 19800 . . . . . . . 8 · = (.r‘ℂfld)
3231subrgmcl 18840 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (𝑋𝑏) ∈ 𝑆𝑋𝑆) → ((𝑋𝑏) · 𝑋) ∈ 𝑆)
3328, 29, 30, 32syl3anc 1366 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ (𝑋𝑏) ∈ 𝑆) → ((𝑋𝑏) · 𝑋) ∈ 𝑆)
3427, 33eqeltrd 2730 . . . . 5 ((𝑏 ∈ ℕ0𝜑 ∧ (𝑋𝑏) ∈ 𝑆) → (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆)
35343exp 1283 . . . 4 (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ((𝑋𝑏) ∈ 𝑆 → (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆)))
3635a2d 29 . . 3 (𝑏 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → (𝑋𝑏) ∈ 𝑆) → (𝜑 → (𝑋↑(𝑏 + 1)) ∈ 𝑆)))
374, 7, 10, 13, 24, 36nn0ind 11510 . 2 (𝑌 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (𝑋𝑌) ∈ 𝑆))
381, 37mpcom 38 1 (𝜑 → (𝑋𝑌) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wss 3607  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  0cn0 11330  cexp 12900  SubRingcsubrg 18824  fldccnfld 19794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-subg 17638  df-cmn 18241  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-subrg 18826  df-cnfld 19795
This theorem is referenced by:  cnsrplycl  38054
  Copyright terms: Public domain W3C validator