Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnrest Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnrest 21312
 Description: Continuity of a restriction from a subspace. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnrest.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
cnrest ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾))

Proof of Theorem cnrest
Dummy variable 𝑜 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnrest.1 . . . . 5 𝑋 = 𝐽
2 eqid 2761 . . . . 5 𝐾 = 𝐾
31, 2cnf 21273 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋 𝐾)
43adantr 472 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐹:𝑋 𝐾)
5 simpr 479 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴𝑋)
64, 5fssresd 6233 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹𝐴):𝐴 𝐾)
7 cnvresima 5785 . . . 4 ((𝐹𝐴) “ 𝑜) = ((𝐹𝑜) ∩ 𝐴)
8 cntop1 21267 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
98adantr 472 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
109adantr 472 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑜𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
111topopn 20934 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Top → 𝑋𝐽)
12 ssexg 4957 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑋𝑋𝐽) → 𝐴 ∈ V)
1312ancoms 468 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐽𝐴𝑋) → 𝐴 ∈ V)
1411, 13sylan 489 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 ∈ V)
158, 14sylan 489 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 ∈ V)
1615adantr 472 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑜𝐾) → 𝐴 ∈ V)
17 cnima 21292 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑜𝐾) → (𝐹𝑜) ∈ 𝐽)
1817adantlr 753 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑜𝐾) → (𝐹𝑜) ∈ 𝐽)
19 elrestr 16312 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V ∧ (𝐹𝑜) ∈ 𝐽) → ((𝐹𝑜) ∩ 𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴))
2010, 16, 18, 19syl3anc 1477 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑜𝐾) → ((𝐹𝑜) ∩ 𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴))
217, 20syl5eqel 2844 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑜𝐾) → ((𝐹𝐴) “ 𝑜) ∈ (𝐽t 𝐴))
2221ralrimiva 3105 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → ∀𝑜𝐾 ((𝐹𝐴) “ 𝑜) ∈ (𝐽t 𝐴))
231toptopon 20945 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
248, 23sylib 208 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
25 resttopon 21188 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐽t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
2624, 25sylan 489 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐽t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
27 cntop2 21268 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
2827adantr 472 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐾 ∈ Top)
292toptopon 20945 . . . 4 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
3028, 29sylib 208 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
31 iscn 21262 . . 3 (((𝐽t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾)) → ((𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ ((𝐹𝐴):𝐴 𝐾 ∧ ∀𝑜𝐾 ((𝐹𝐴) “ 𝑜) ∈ (𝐽t 𝐴))))
3226, 30, 31syl2anc 696 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ ((𝐹𝐴):𝐴 𝐾 ∧ ∀𝑜𝐾 ((𝐹𝐴) “ 𝑜) ∈ (𝐽t 𝐴))))
336, 22, 32mpbir2and 995 1 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2140  ∀wral 3051  Vcvv 3341   ∩ cin 3715   ⊆ wss 3716  ∪ cuni 4589  ◡ccnv 5266   ↾ cres 5269   “ cima 5270  ⟶wf 6046  ‘cfv 6050  (class class class)co 6815   ↾t crest 16304  Topctop 20921  TopOnctopon 20938   Cn ccn 21251 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-en 8125  df-fin 8128  df-fi 8485  df-rest 16306  df-topgen 16327  df-top 20922  df-topon 20939  df-bases 20973  df-cn 21254 This theorem is referenced by:  resthauslem  21390  imacmp  21423  connima  21451  kgencn2  21583  kgencn3  21584  xkopjcn  21682  cnmpt1res  21702  cnmpt2res  21703  qtoprest  21743  hmeores  21797  ftalem3  25022  rmulccn  30305  raddcn  30306  xrge0mulc1cn  30318  rrhre  30396  cvmliftmolem1  31592  cvmlift2lem9a  31614  cvmlift2lem9  31622  ivthALT  32658  broucube  33775  areacirclem2  33833  cnres2  33894  stoweidlem28  40767  dirkercncflem2  40843
 Copyright terms: Public domain W3C validator