Theorem cnrefiisp 40574

Description: A non-real, complex number is an isolated point w.r.t. the union of the reals with any finite set (the extended reals is an example of such a union). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnrefiisp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
cnrefiisp.n	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
cnrefiisp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
cnrefiisp.c	⊢ 𝐶 = (ℝ ∪ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cnrefiisp	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐶 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐴))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem cnrefiisp

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnrefiisp.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		cnrefiisp.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
3		cnrefiisp.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
4		cnrefiisp.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (ℝ ∪ 𝐵)
5		eqid 2771	. . 3 ⊢ ({(abs‘(ℑ‘𝐴))} ∪ ∪ 𝑤 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑤 − 𝐴))}) = ({(abs‘(ℑ‘𝐴))} ∪ ∪ 𝑤 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑤 − 𝐴))})
6		fvoveq1 6816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (abs‘(𝑧 − 𝐴)) = (abs‘(𝑤 − 𝐴)))
7	6	sneqd 4328	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → {(abs‘(𝑧 − 𝐴))} = {(abs‘(𝑤 − 𝐴))})
8	7	cbviunv 4693	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑧 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑧 − 𝐴))} = ∪ 𝑤 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑤 − 𝐴))}
9	8	uneq2i 3915	. . . 4 ⊢ ({(abs‘(ℑ‘𝐴))} ∪ ∪ 𝑧 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑧 − 𝐴))}) = ({(abs‘(ℑ‘𝐴))} ∪ ∪ 𝑤 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑤 − 𝐴))})
10	9	infeq1i 8540	. . 3 ⊢ inf(({(abs‘(ℑ‘𝐴))} ∪ ∪ 𝑧 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑧 − 𝐴))}), ℝ*, < ) = inf(({(abs‘(ℑ‘𝐴))} ∪ ∪ 𝑤 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑤 − 𝐴))}), ℝ*, < )
11	1, 2, 3, 4, 5, 10	cnrefiisplem 40573	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐶 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑤 − 𝐴))))
12		eleq1w 2833	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 ∈ ℂ ↔ 𝑦 ∈ ℂ))
13		neeq1 3005	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 ≠ 𝐴 ↔ 𝑦 ≠ 𝐴))
14	12, 13	anbi12d 616	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 𝐴) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 𝐴)))
15		fvoveq1 6816	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (abs‘(𝑤 − 𝐴)) = (abs‘(𝑦 − 𝐴)))
16	15	breq2d 4798	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑥 ≤ (abs‘(𝑤 − 𝐴)) ↔ 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐴))))
17	14, 16	imbi12d 333	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑤 − 𝐴))) ↔ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐴)))))
18	17	cbvralv 3320	. . 3 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐶 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑤 − 𝐴))) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐶 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐴))))
19	18	rexbii 3189	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐶 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑤 − 𝐴))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐶 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐴))))
20	11, 19	sylib 208	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑦 ∈ 𝐶 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦 − 𝐴))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  ∀wral 3061  ∃wrex 3062   ∖ cdif 3720   ∪ cun 3721   ∩ cin 3722  {csn 4316  ∪ ciun 4654   class class class wbr 4786  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  Fincfn 8109  infcinf 8503  ℂcc 10136  ℝcr 10137  ℝ^*cxr 10275   < clt 10276   ≤ cle 10277   − cmin 10468  ℝ⁺crp 12035  ℑcim 14046  abscabs 14182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184

This theorem is referenced by:  climxlim2lem  40589