Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnrefiisp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnrefiisp 40574
Description: A non-real, complex number is an isolated point w.r.t. the union of the reals with any finite set (the extended reals is an example of such a union). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cnrefiisp.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
cnrefiisp.n (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
cnrefiisp.b (𝜑𝐵 ∈ Fin)
cnrefiisp.c 𝐶 = (ℝ ∪ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
cnrefiisp (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐶 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem cnrefiisp
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnrefiisp.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 cnrefiisp.n . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
3 cnrefiisp.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
4 cnrefiisp.c . . 3 𝐶 = (ℝ ∪ 𝐵)
5 eqid 2771 . . 3 ({(abs‘(ℑ‘𝐴))} ∪ 𝑤 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑤𝐴))}) = ({(abs‘(ℑ‘𝐴))} ∪ 𝑤 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑤𝐴))})
6 fvoveq1 6816 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑤 → (abs‘(𝑧𝐴)) = (abs‘(𝑤𝐴)))
76sneqd 4328 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑤 → {(abs‘(𝑧𝐴))} = {(abs‘(𝑤𝐴))})
87cbviunv 4693 . . . . 5 𝑧 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑧𝐴))} = 𝑤 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑤𝐴))}
98uneq2i 3915 . . . 4 ({(abs‘(ℑ‘𝐴))} ∪ 𝑧 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑧𝐴))}) = ({(abs‘(ℑ‘𝐴))} ∪ 𝑤 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑤𝐴))})
109infeq1i 8540 . . 3 inf(({(abs‘(ℑ‘𝐴))} ∪ 𝑧 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑧𝐴))}), ℝ*, < ) = inf(({(abs‘(ℑ‘𝐴))} ∪ 𝑤 ∈ ((𝐵 ∩ ℂ) ∖ {𝐴}){(abs‘(𝑤𝐴))}), ℝ*, < )
111, 2, 3, 4, 5, 10cnrefiisplem 40573 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑤𝐶 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑤𝐴))))
12 eleq1w 2833 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 ∈ ℂ ↔ 𝑦 ∈ ℂ))
13 neeq1 3005 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤𝐴𝑦𝐴))
1412, 13anbi12d 616 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝐴) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴)))
15 fvoveq1 6816 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (abs‘(𝑤𝐴)) = (abs‘(𝑦𝐴)))
1615breq2d 4798 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → (𝑥 ≤ (abs‘(𝑤𝐴)) ↔ 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴))))
1714, 16imbi12d 333 . . . 4 (𝑤 = 𝑦 → (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑤𝐴))) ↔ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴)))))
1817cbvralv 3320 . . 3 (∀𝑤𝐶 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑤𝐴))) ↔ ∀𝑦𝐶 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴))))
1918rexbii 3189 . 2 (∃𝑥 ∈ ℝ+𝑤𝐶 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑤𝐴))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐶 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴))))
2011, 19sylib 208 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐶 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ≤ (abs‘(𝑦𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  wrex 3062  cdif 3720  cun 3721  cin 3722  {csn 4316   ciun 4654   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  Fincfn 8109  infcinf 8503  cc 10136  cr 10137  *cxr 10275   < clt 10276  cle 10277  cmin 10468  +crp 12035  cim 14046  abscabs 14182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184
This theorem is referenced by:  climxlim2lem  40589
  Copyright terms: Public domain W3C validator