MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnplimc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnplimc 23870
Description: A function is continuous at 𝐵 iff its limit at 𝐵 equals the value of the function there. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cnplimc.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
cnplimc.j 𝐽 = (𝐾t 𝐴)
Assertion
Ref Expression
cnplimc ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))))

Proof of Theorem cnplimc
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnplimc.j . . . . 5 𝐽 = (𝐾t 𝐴)
2 cnplimc.k . . . . . . 7 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
32cnfldtopon 22807 . . . . . 6 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
4 simpl 474 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴 ⊆ ℂ)
5 resttopon 21187 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
63, 4, 5sylancr 698 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
71, 6syl5eqel 2843 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴))
8 cnpf2 21276 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
983expia 1115 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → 𝐹:𝐴⟶ℂ))
107, 3, 9sylancl 697 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) → 𝐹:𝐴⟶ℂ))
1110pm4.71rd 670 . 2 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵))))
12 simpr 479 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
13 simplr 809 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐵𝐴)
1413snssd 4485 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → {𝐵} ⊆ 𝐴)
15 ssequn2 3929 . . . . . . . . 9 ({𝐵} ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∪ {𝐵}) = 𝐴)
1614, 15sylib 208 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐴 ∪ {𝐵}) = 𝐴)
1716feq2d 6192 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐹:(𝐴 ∪ {𝐵})⟶ℂ ↔ 𝐹:𝐴⟶ℂ))
1812, 17mpbird 247 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐹:(𝐴 ∪ {𝐵})⟶ℂ)
1918feqmptd 6412 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ (𝐹𝑥)))
2016oveq2d 6830 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) = (𝐾t 𝐴))
2120, 1syl6reqr 2813 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐽 = (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})))
2221oveq1d 6829 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐽 CnP 𝐾) = ((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾))
2322fveq1d 6355 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) = (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵))
2419, 23eleq12d 2833 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
25 eqid 2760 . . . . 5 (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) = (𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵}))
26 ifid 4269 . . . . . . 7 if(𝑥 = 𝐵, (𝐹𝑥), (𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥)
27 fveq2 6353 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐵))
2827adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ 𝑥 = 𝐵) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐵))
2928ifeq1da 4260 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) → if(𝑥 = 𝐵, (𝐹𝑥), (𝐹𝑥)) = if(𝑥 = 𝐵, (𝐹𝐵), (𝐹𝑥)))
3026, 29syl5eqr 2808 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) → (𝐹𝑥) = if(𝑥 = 𝐵, (𝐹𝐵), (𝐹𝑥)))
3130mpteq2ia 4892 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ if(𝑥 = 𝐵, (𝐹𝐵), (𝐹𝑥)))
32 simpll 807 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐴 ⊆ ℂ)
3332, 13sseldd 3745 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3425, 2, 31, 12, 32, 33ellimc 23856 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → ((𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ (((𝐾t (𝐴 ∪ {𝐵})) CnP 𝐾)‘𝐵)))
3524, 34bitr4d 271 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵)))
3635pm5.32da 676 . 2 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵)) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))))
3711, 36bitrd 268 1 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  cun 3713  wss 3715  ifcif 4230  {csn 4321  cmpt 4881  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  t crest 16303  TopOpenctopn 16304  fldccnfld 19968  TopOnctopon 20937   CnP ccnp 21251   lim climc 23845
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-fz 12540  df-seq 13016  df-exp 13075  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-rest 16305  df-topn 16306  df-topgen 16326  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-cnfld 19969  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cnp 21254  df-xms 22346  df-ms 22347  df-limc 23849
This theorem is referenced by:  cnlimc  23871  dvcnp2  23902  dvmulbr  23921  dvcobr  23928  cncfiooicclem1  40627  jumpncnp  40632  dirkercncf  40845  fourierdlem32  40877  fourierdlem33  40878  fourierdlem62  40906  fouriercnp  40964
  Copyright terms: Public domain W3C validator