MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnnvs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnnvs 27765
Description: The scalar product operation of the normed complex vector space of complex numbers. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
cnnvs.6 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
Assertion
Ref Expression
cnnvs · = ( ·𝑠OLD𝑈)

Proof of Theorem cnnvs
StepHypRef Expression
1 eqid 2724 . . 3 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
21smfval 27690 . 2 ( ·𝑠OLD𝑈) = (2nd ‘(1st𝑈))
3 cnnvs.6 . . . . 5 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
43fveq2i 6307 . . . 4 (1st𝑈) = (1st ‘⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩)
5 opex 5037 . . . . 5 ⟨ + , · ⟩ ∈ V
6 absf 14197 . . . . . 6 abs:ℂ⟶ℝ
7 cnex 10130 . . . . . 6 ℂ ∈ V
8 fex 6605 . . . . . 6 ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℂ ∈ V) → abs ∈ V)
96, 7, 8mp2an 710 . . . . 5 abs ∈ V
105, 9op1st 7293 . . . 4 (1st ‘⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩) = ⟨ + , · ⟩
114, 10eqtri 2746 . . 3 (1st𝑈) = ⟨ + , · ⟩
1211fveq2i 6307 . 2 (2nd ‘(1st𝑈)) = (2nd ‘⟨ + , · ⟩)
13 addex 11944 . . 3 + ∈ V
14 mulex 11945 . . 3 · ∈ V
1513, 14op2nd 7294 . 2 (2nd ‘⟨ + , · ⟩) = ·
162, 12, 153eqtrri 2751 1 · = ( ·𝑠OLD𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1596  wcel 2103  Vcvv 3304  cop 4291  wf 5997  cfv 6001  1st c1st 7283  2nd c2nd 7284  cc 10047  cr 10048   + caddc 10052   · cmul 10054  abscabs 14094   ·𝑠OLD cns 27672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-addf 10128  ax-mulf 10129
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-sup 8464  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-rp 11947  df-seq 12917  df-exp 12976  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-sm 27682
This theorem is referenced by:  cnnvm  27767  ipblnfi  27941
  Copyright terms: Public domain W3C validator