MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnnv 27866
Description: The set of complex numbers is a normed complex vector space. The vector operation is +, the scalar product is ·, and the norm function is abs. (Contributed by Steve Rodriguez, 3-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
cnnv.6 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
Assertion
Ref Expression
cnnv 𝑈 ∈ NrmCVec

Proof of Theorem cnnv
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnaddabloOLD 27770 . . . 4 + ∈ AbelOp
2 ablogrpo 27735 . . . 4 ( + ∈ AbelOp → + ∈ GrpOp)
31, 2ax-mp 5 . . 3 + ∈ GrpOp
4 ax-addf 10216 . . . 4 + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
54fdmi 6192 . . 3 dom + = (ℂ × ℂ)
63, 5grporn 27709 . 2 ℂ = ran +
7 cnidOLD 27771 . 2 0 = (GId‘ + )
8 cncvcOLD 27772 . 2 ⟨ + , · ⟩ ∈ CVecOLD
9 absf 14284 . 2 abs:ℂ⟶ℝ
10 abs00 14236 . . 3 (𝑥 ∈ ℂ → ((abs‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0))
1110biimpa 462 . 2 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) = 0) → 𝑥 = 0)
12 absmul 14241 . 2 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑦 · 𝑥)) = ((abs‘𝑦) · (abs‘𝑥)))
13 abstri 14277 . 2 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥 + 𝑦)) ≤ ((abs‘𝑥) + (abs‘𝑦)))
14 cnnv.6 . 2 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
156, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14isnvi 27802 1 𝑈 ∈ NrmCVec
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1630  wcel 2144  cop 4320   × cxp 5247  cfv 6031  cc 10135  0cc0 10137   + caddc 10140   · cmul 10142  abscabs 14181  GrpOpcgr 27677  AbelOpcablo 27732  NrmCVeccnv 27773
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215  ax-addf 10216  ax-mulf 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-grpo 27681  df-gid 27682  df-ablo 27733  df-vc 27748  df-nv 27781
This theorem is referenced by:  cnnvm  27871  elimnvu  27873  cnims  27882  cncph  28008  ipblnfi  28045  cnbn  28059  htthlem  28108
  Copyright terms: Public domain W3C validator