Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnndvlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnndvlem1 32653
 Description: Lemma for cnndv 32655. (Contributed by Asger C. Ipsen, 25-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
cnndvlem1.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
cnndvlem1.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((1 / 2)↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 3)↑𝑛) · 𝑦)))))
cnndvlem1.w 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
Assertion
Ref Expression
cnndvlem1 (𝑊 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ∧ dom (ℝ D 𝑊) = ∅)
Distinct variable groups:   𝑖,𝐹,𝑤   𝑇,𝑛,𝑦   𝑖,𝑛,𝑦,𝑤   𝑥,𝑖,𝑤
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑤,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem cnndvlem1
StepHypRef Expression
1 cnndvlem1.t . . . 4 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2 cnndvlem1.f . . . 4 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((1 / 2)↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 3)↑𝑛) · 𝑦)))))
3 cnndvlem1.w . . . 4 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
4 3nn 11224 . . . . 5 3 ∈ ℕ
54a1i 11 . . . 4 (⊤ → 3 ∈ ℕ)
6 neg1rr 11163 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℝ
76rexri 10135 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ*
8 1re 10077 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
98rexri 10135 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
10 halfre 11284 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ
1110rexri 10135 . . . . . . . 8 (1 / 2) ∈ ℝ*
127, 9, 113pm3.2i 1259 . . . . . . 7 (-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ (1 / 2) ∈ ℝ*)
13 neg1lt0 11165 . . . . . . . . . 10 -1 < 0
14 halfgt0 11286 . . . . . . . . . 10 0 < (1 / 2)
1513, 14pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (-1 < 0 ∧ 0 < (1 / 2))
16 0re 10078 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
176, 16, 10lttri 10201 . . . . . . . . 9 ((-1 < 0 ∧ 0 < (1 / 2)) → -1 < (1 / 2))
1815, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8 -1 < (1 / 2)
19 halflt1 11288 . . . . . . . 8 (1 / 2) < 1
2018, 19pm3.2i 470 . . . . . . 7 (-1 < (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)
2112, 20pm3.2i 470 . . . . . 6 ((-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ (1 / 2) ∈ ℝ*) ∧ (-1 < (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1))
22 elioo3g 12242 . . . . . 6 ((1 / 2) ∈ (-1(,)1) ↔ ((-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ (1 / 2) ∈ ℝ*) ∧ (-1 < (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
2321, 22mpbir 221 . . . . 5 (1 / 2) ∈ (-1(,)1)
2423a1i 11 . . . 4 (⊤ → (1 / 2) ∈ (-1(,)1))
251, 2, 3, 5, 24knoppcn2 32652 . . 3 (⊤ → 𝑊 ∈ (ℝ–cn→ℝ))
2625trud 1533 . 2 𝑊 ∈ (ℝ–cn→ℝ)
27 2cn 11129 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
2827mulid2i 10081 . . . . . . . 8 (1 · 2) = 2
29 2lt3 11233 . . . . . . . 8 2 < 3
3028, 29eqbrtri 4706 . . . . . . 7 (1 · 2) < 3
31 2pos 11150 . . . . . . . 8 0 < 2
324nnrei 11067 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℝ
33 2re 11128 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
348, 32, 33ltmuldivi 10982 . . . . . . . 8 (0 < 2 → ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2)))
3531, 34ax-mp 5 . . . . . . 7 ((1 · 2) < 3 ↔ 1 < (3 / 2))
3630, 35mpbi 220 . . . . . 6 1 < (3 / 2)
3716, 10, 14ltleii 10198 . . . . . . . . 9 0 ≤ (1 / 2)
3810absidi 14161 . . . . . . . . 9 (0 ≤ (1 / 2) → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . 8 (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2)
4039oveq2i 6701 . . . . . . 7 (3 · (abs‘(1 / 2))) = (3 · (1 / 2))
414nncni 11068 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
42 2ne0 11151 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
4341, 27, 42divreci 10808 . . . . . . . 8 (3 / 2) = (3 · (1 / 2))
4443eqcomi 2660 . . . . . . 7 (3 · (1 / 2)) = (3 / 2)
4540, 44eqtri 2673 . . . . . 6 (3 · (abs‘(1 / 2))) = (3 / 2)
4636, 45breqtrri 4712 . . . . 5 1 < (3 · (abs‘(1 / 2)))
4746a1i 11 . . . 4 (⊤ → 1 < (3 · (abs‘(1 / 2))))
481, 2, 3, 24, 5, 47knoppndv 32650 . . 3 (⊤ → dom (ℝ D 𝑊) = ∅)
4948trud 1533 . 2 dom (ℝ D 𝑊) = ∅
5026, 49pm3.2i 470 1 (𝑊 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ∧ dom (ℝ D 𝑊) = ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523  ⊤wtru 1524   ∈ wcel 2030  ∅c0 3948   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  dom cdm 5143  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  ℕcn 11058  2c2 11108  3c3 11109  ℕ0cn0 11330  (,)cioo 12213  ⌊cfl 12631  ↑cexp 12900  abscabs 14018  Σcsu 14460  –cn→ccncf 22726   D cdv 23672 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-dvds 15028  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-ntr 20872  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-ulm 24176 This theorem is referenced by:  cnndvlem2  32654
 Copyright terms: Public domain W3C validator