MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmsgnsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmsgnsubg 20138
Description: The signs form a multiplicative subgroup of the complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnmsgnsubg.m 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
Assertion
Ref Expression
cnmsgnsubg {1, -1} ∈ (SubGrp‘𝑀)

Proof of Theorem cnmsgnsubg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmsgnsubg.m . 2 𝑀 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (ℂ ∖ {0}))
2 elpri 4337 . . 3 (𝑥 ∈ {1, -1} → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1))
3 id 22 . . . . 5 (𝑥 = 1 → 𝑥 = 1)
4 ax-1cn 10196 . . . . 5 1 ∈ ℂ
53, 4syl6eqel 2858 . . . 4 (𝑥 = 1 → 𝑥 ∈ ℂ)
6 id 22 . . . . 5 (𝑥 = -1 → 𝑥 = -1)
7 neg1cn 11326 . . . . 5 -1 ∈ ℂ
86, 7syl6eqel 2858 . . . 4 (𝑥 = -1 → 𝑥 ∈ ℂ)
95, 8jaoi 846 . . 3 ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → 𝑥 ∈ ℂ)
102, 9syl 17 . 2 (𝑥 ∈ {1, -1} → 𝑥 ∈ ℂ)
11 ax-1ne0 10207 . . . . . 6 1 ≠ 0
1211a1i 11 . . . . 5 (𝑥 = 1 → 1 ≠ 0)
133, 12eqnetrd 3010 . . . 4 (𝑥 = 1 → 𝑥 ≠ 0)
14 neg1ne0 11328 . . . . . 6 -1 ≠ 0
1514a1i 11 . . . . 5 (𝑥 = -1 → -1 ≠ 0)
166, 15eqnetrd 3010 . . . 4 (𝑥 = -1 → 𝑥 ≠ 0)
1713, 16jaoi 846 . . 3 ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → 𝑥 ≠ 0)
182, 17syl 17 . 2 (𝑥 ∈ {1, -1} → 𝑥 ≠ 0)
19 elpri 4337 . . 3 (𝑦 ∈ {1, -1} → (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = -1))
20 oveq12 6802 . . . . 5 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = (1 · 1))
214mulid1i 10244 . . . . . 6 (1 · 1) = 1
22 1ex 10237 . . . . . . 7 1 ∈ V
2322prid1 4433 . . . . . 6 1 ∈ {1, -1}
2421, 23eqeltri 2846 . . . . 5 (1 · 1) ∈ {1, -1}
2520, 24syl6eqel 2858 . . . 4 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
26 oveq12 6802 . . . . 5 ((𝑥 = -1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = (-1 · 1))
277mulid1i 10244 . . . . . 6 (-1 · 1) = -1
28 negex 10481 . . . . . . 7 -1 ∈ V
2928prid2 4434 . . . . . 6 -1 ∈ {1, -1}
3027, 29eqeltri 2846 . . . . 5 (-1 · 1) ∈ {1, -1}
3126, 30syl6eqel 2858 . . . 4 ((𝑥 = -1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
32 oveq12 6802 . . . . 5 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = -1) → (𝑥 · 𝑦) = (1 · -1))
337mulid2i 10245 . . . . . 6 (1 · -1) = -1
3433, 29eqeltri 2846 . . . . 5 (1 · -1) ∈ {1, -1}
3532, 34syl6eqel 2858 . . . 4 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = -1) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
36 oveq12 6802 . . . . 5 ((𝑥 = -1 ∧ 𝑦 = -1) → (𝑥 · 𝑦) = (-1 · -1))
37 neg1mulneg1e1 11447 . . . . . 6 (-1 · -1) = 1
3837, 23eqeltri 2846 . . . . 5 (-1 · -1) ∈ {1, -1}
3936, 38syl6eqel 2858 . . . 4 ((𝑥 = -1 ∧ 𝑦 = -1) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
4025, 31, 35, 39ccase 1022 . . 3 (((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) ∧ (𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = -1)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
412, 19, 40syl2an 583 . 2 ((𝑥 ∈ {1, -1} ∧ 𝑦 ∈ {1, -1}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1, -1})
42 oveq2 6801 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (1 / 𝑥) = (1 / 1))
43 1div1e1 10919 . . . . . 6 (1 / 1) = 1
4443, 23eqeltri 2846 . . . . 5 (1 / 1) ∈ {1, -1}
4542, 44syl6eqel 2858 . . . 4 (𝑥 = 1 → (1 / 𝑥) ∈ {1, -1})
46 oveq2 6801 . . . . 5 (𝑥 = -1 → (1 / 𝑥) = (1 / -1))
47 divneg2 10951 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(1 / 1) = (1 / -1))
484, 4, 11, 47mp3an 1572 . . . . . . 7 -(1 / 1) = (1 / -1)
4943negeqi 10476 . . . . . . 7 -(1 / 1) = -1
5048, 49eqtr3i 2795 . . . . . 6 (1 / -1) = -1
5150, 29eqeltri 2846 . . . . 5 (1 / -1) ∈ {1, -1}
5246, 51syl6eqel 2858 . . . 4 (𝑥 = -1 → (1 / 𝑥) ∈ {1, -1})
5345, 52jaoi 846 . . 3 ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → (1 / 𝑥) ∈ {1, -1})
542, 53syl 17 . 2 (𝑥 ∈ {1, -1} → (1 / 𝑥) ∈ {1, -1})
551, 10, 18, 41, 23, 54cnmsubglem 20024 1 {1, -1} ∈ (SubGrp‘𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 382  wo 836   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  cdif 3720  {csn 4316  {cpr 4318  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  0cc0 10138  1c1 10139   · cmul 10143  -cneg 10469   / cdiv 10886  s cress 16065  SubGrpcsubg 17796  mulGrpcmgp 18697  fldccnfld 19961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-addf 10217  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-tpos 7504  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-subg 17799  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-dvr 18891  df-drng 18959  df-cnfld 19962
This theorem is referenced by:  cnmsgngrp  20140  psgninv  20143  zrhpsgnmhm  20145
  Copyright terms: Public domain W3C validator