Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt1ip Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmpt1ip 23266
 Description: Continuity of inner product; analogue of cnmpt12f 21691 which cannot be used directly because ·𝑖 is not a function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt1ip.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
cnmpt1ip.c 𝐶 = (TopOpen‘ℂfld)
cnmpt1ip.h , = (·𝑖𝑊)
cnmpt1ip.r (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
cnmpt1ip.k (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋))
cnmpt1ip.a (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
cnmpt1ip.b (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
Assertion
Ref Expression
cnmpt1ip (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 , 𝐵)) ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   , (𝑥)

Proof of Theorem cnmpt1ip
StepHypRef Expression
1 cnmpt1ip.k . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 cnmpt1ip.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
3 cphngp 23193 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ NrmGrp)
4 ngptps 22627 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ NrmGrp → 𝑊 ∈ TopSp)
52, 3, 43syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ TopSp)
6 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
7 cnmpt1ip.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
86, 7istps 20960 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
95, 8sylib 208 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)))
10 cnmpt1ip.a . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
11 cnf2 21275 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)) ∧ (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝐾 Cn 𝐽)) → (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶(Base‘𝑊))
121, 9, 10, 11syl3anc 1477 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶(Base‘𝑊))
13 eqid 2760 . . . . . . 7 (𝑥𝑋𝐴) = (𝑥𝑋𝐴)
1413fmpt 6545 . . . . . 6 (∀𝑥𝑋 𝐴 ∈ (Base‘𝑊) ↔ (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶(Base‘𝑊))
1512, 14sylibr 224 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 𝐴 ∈ (Base‘𝑊))
1615r19.21bi 3070 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑊))
17 cnmpt1ip.b . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
18 cnf2 21275 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘(Base‘𝑊)) ∧ (𝑥𝑋𝐵) ∈ (𝐾 Cn 𝐽)) → (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶(Base‘𝑊))
191, 9, 17, 18syl3anc 1477 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶(Base‘𝑊))
20 eqid 2760 . . . . . . 7 (𝑥𝑋𝐵) = (𝑥𝑋𝐵)
2120fmpt 6545 . . . . . 6 (∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ (Base‘𝑊) ↔ (𝑥𝑋𝐵):𝑋⟶(Base‘𝑊))
2219, 21sylibr 224 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 𝐵 ∈ (Base‘𝑊))
2322r19.21bi 3070 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵 ∈ (Base‘𝑊))
24 cnmpt1ip.h . . . . 5 , = (·𝑖𝑊)
25 eqid 2760 . . . . 5 (·if𝑊) = (·if𝑊)
266, 24, 25ipfval 20216 . . . 4 ((𝐴 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐴(·if𝑊)𝐵) = (𝐴 , 𝐵))
2716, 23, 26syl2anc 696 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐴(·if𝑊)𝐵) = (𝐴 , 𝐵))
2827mpteq2dva 4896 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐴(·if𝑊)𝐵)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 , 𝐵)))
29 cnmpt1ip.c . . . . 5 𝐶 = (TopOpen‘ℂfld)
3025, 7, 29ipcn 23265 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂPreHil → (·if𝑊) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐶))
312, 30syl 17 . . 3 (𝜑 → (·if𝑊) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐶))
321, 10, 17, 31cnmpt12f 21691 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐴(·if𝑊)𝐵)) ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
3328, 32eqeltrrd 2840 1 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 , 𝐵)) ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050   ↦ cmpt 4881  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  ·𝑖cip 16168  TopOpenctopn 16304  ℂfldccnfld 19968  ·ifcipf 20192  TopOnctopon 20937  TopSpctps 20958   Cn ccn 21250   ×t ctx 21585  NrmGrpcngp 22603  ℂPreHilccph 23186 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-tpos 7522  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-hom 16188  df-cco 16189  df-rest 16305  df-topn 16306  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-topgen 16326  df-pt 16327  df-prds 16330  df-xrs 16384  df-qtop 16389  df-imas 16390  df-xps 16392  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-mhm 17556  df-submnd 17557  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-mulg 17762  df-subg 17812  df-ghm 17879  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-cring 18770  df-oppr 18843  df-dvdsr 18861  df-unit 18862  df-invr 18892  df-dvr 18903  df-rnghom 18937  df-drng 18971  df-subrg 19000  df-staf 19067  df-srng 19068  df-lmod 19087  df-lmhm 19244  df-lvec 19325  df-sra 19394  df-rgmod 19395  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-cnfld 19969  df-phl 20193  df-ipf 20194  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-nm 22608  df-ngp 22609  df-tng 22610  df-nlm 22612  df-clm 23083  df-cph 23188  df-tch 23189 This theorem is referenced by:  csscld  23268  clsocv  23269
 Copyright terms: Public domain W3C validator