MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmet 22797
Description: The absolute value metric determines a metric space on the complex numbers. This theorem provides a link between complex numbers and metrics spaces, making metric space theorems available for use with complex numbers. (Contributed by FL, 9-Oct-2006.)
Assertion
Ref Expression
cnmet (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)

Proof of Theorem cnmet
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 10230 . 2 ℂ ∈ V
2 absf 14297 . . 3 abs:ℂ⟶ℝ
3 subf 10496 . . 3 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
4 fco 6220 . . 3 ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ) → (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ)
52, 3, 4mp2an 710 . 2 (abs ∘ − ):(ℂ × ℂ)⟶ℝ
6 subcl 10493 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥𝑦) ∈ ℂ)
76abs00ad 14250 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑥𝑦)) = 0 ↔ (𝑥𝑦) = 0))
8 eqid 2761 . . . . . 6 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
98cnmetdval 22796 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑥𝑦)))
109eqcomd 2767 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥𝑦)) = (𝑥(abs ∘ − )𝑦))
1110eqeq1d 2763 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑥𝑦)) = 0 ↔ (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = 0))
12 subeq0 10520 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
137, 11, 123bitr3d 298 . 2 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥(abs ∘ − )𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
14 abs3dif 14291 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥𝑦)) ≤ ((abs‘(𝑥𝑧)) + (abs‘(𝑧𝑦))))
15 abssub 14286 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥𝑧)) = (abs‘(𝑧𝑥)))
1615oveq1d 6830 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑥𝑧)) + (abs‘(𝑧𝑦))) = ((abs‘(𝑧𝑥)) + (abs‘(𝑧𝑦))))
17163adant2 1126 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑥𝑧)) + (abs‘(𝑧𝑦))) = ((abs‘(𝑧𝑥)) + (abs‘(𝑧𝑦))))
1814, 17breqtrd 4831 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥𝑦)) ≤ ((abs‘(𝑧𝑥)) + (abs‘(𝑧𝑦))))
1993adant3 1127 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑥𝑦)))
208cnmetdval 22796 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑧(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(𝑧𝑥)))
21203adant3 1127 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑧(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(𝑧𝑥)))
228cnmetdval 22796 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑧(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑧𝑦)))
23223adant2 1126 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑧(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑧𝑦)))
2421, 23oveq12d 6833 . . . 4 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑧(abs ∘ − )𝑥) + (𝑧(abs ∘ − )𝑦)) = ((abs‘(𝑧𝑥)) + (abs‘(𝑧𝑦))))
25243coml 1122 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑧(abs ∘ − )𝑥) + (𝑧(abs ∘ − )𝑦)) = ((abs‘(𝑧𝑥)) + (abs‘(𝑧𝑦))))
2618, 19, 253brtr4d 4837 . 2 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) ≤ ((𝑧(abs ∘ − )𝑥) + (𝑧(abs ∘ − )𝑦)))
271, 5, 13, 26ismeti 22352 1 (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2140   × cxp 5265  ccom 5271  wf 6046  cfv 6050  (class class class)co 6815  cc 10147  cr 10148  0cc0 10149   + caddc 10152  cle 10288  cmin 10479  abscabs 14194  Metcme 19955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-map 8028  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-sup 8516  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-rp 12047  df-seq 13017  df-exp 13076  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-met 19963
This theorem is referenced by:  cnxmet  22798  cnfldms  22801  remet  22815  xrsdsre  22835  lebnumii  22987  cncmet  23340  cncms  23372  ovolctb  23479  dvlog2lem  24619  cnrrext  30385  cntotbnd  33927  iccbnd  33971  sblpnf  39030
  Copyright terms: Public domain W3C validator