Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnmbfm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnmbfm 30665
 Description: A continuous function is measurable with respect to the Borel Algebra of its domain and range. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmbfm.1 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
cnmbfm.2 (𝜑𝑆 = (sigaGen‘𝐽))
cnmbfm.3 (𝜑𝑇 = (sigaGen‘𝐾))
Assertion
Ref Expression
cnmbfm (𝜑𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇))

Proof of Theorem cnmbfm
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmbfm.1 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2 eqid 2771 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
3 eqid 2771 . . . . 5 𝐾 = 𝐾
42, 3cnf 21271 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹: 𝐽 𝐾)
51, 4syl 17 . . 3 (𝜑𝐹: 𝐽 𝐾)
6 cnmbfm.2 . . . . . 6 (𝜑𝑆 = (sigaGen‘𝐽))
76unieqd 4584 . . . . 5 (𝜑 𝑆 = (sigaGen‘𝐽))
8 cntop1 21265 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
9 unisg 30546 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top → (sigaGen‘𝐽) = 𝐽)
101, 8, 93syl 18 . . . . 5 (𝜑 (sigaGen‘𝐽) = 𝐽)
117, 10eqtrd 2805 . . . 4 (𝜑 𝑆 = 𝐽)
12 cnmbfm.3 . . . . . 6 (𝜑𝑇 = (sigaGen‘𝐾))
1312unieqd 4584 . . . . 5 (𝜑 𝑇 = (sigaGen‘𝐾))
14 cntop2 21266 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
15 unisg 30546 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Top → (sigaGen‘𝐾) = 𝐾)
161, 14, 153syl 18 . . . . 5 (𝜑 (sigaGen‘𝐾) = 𝐾)
1713, 16eqtrd 2805 . . . 4 (𝜑 𝑇 = 𝐾)
1811, 17feq23d 6180 . . 3 (𝜑 → (𝐹: 𝑆 𝑇𝐹: 𝐽 𝐾))
195, 18mpbird 247 . 2 (𝜑𝐹: 𝑆 𝑇)
20 sssigagen 30548 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (sigaGen‘𝐽))
211, 8, 203syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ⊆ (sigaGen‘𝐽))
2221, 6sseqtr4d 3791 . . . . 5 (𝜑𝐽𝑆)
2322adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐾) → 𝐽𝑆)
24 cnima 21290 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑎𝐾) → (𝐹𝑎) ∈ 𝐽)
251, 24sylan 569 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐾) → (𝐹𝑎) ∈ 𝐽)
2623, 25sseldd 3753 . . 3 ((𝜑𝑎𝐾) → (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)
2726ralrimiva 3115 . 2 (𝜑 → ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)
28 elex 3364 . . . 4 (𝐾 ∈ Top → 𝐾 ∈ V)
291, 14, 283syl 18 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ V)
30 sigagensiga 30544 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top → (sigaGen‘𝐽) ∈ (sigAlgebra‘ 𝐽))
311, 8, 303syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (sigaGen‘𝐽) ∈ (sigAlgebra‘ 𝐽))
326, 31eqeltrd 2850 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ (sigAlgebra‘ 𝐽))
33 elrnsiga 30529 . . . 4 (𝑆 ∈ (sigAlgebra‘ 𝐽) → 𝑆 ran sigAlgebra)
3432, 33syl 17 . . 3 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
3529, 34, 12imambfm 30664 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇) ↔ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)))
3619, 27, 35mpbir2and 692 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  Vcvv 3351   ⊆ wss 3723  ∪ cuni 4574  ◡ccnv 5248  ran crn 5250   “ cima 5252  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  Topctop 20918   Cn ccn 21249  sigAlgebracsiga 30510  sigaGencsigagen 30541  MblFnMcmbfm 30652 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-ac2 9487 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-oi 8571  df-card 8965  df-acn 8968  df-ac 9139  df-cda 9192  df-top 20919  df-topon 20936  df-cn 21252  df-siga 30511  df-sigagen 30542  df-mbfm 30653 This theorem is referenced by:  sxbrsiga  30692  rrvadd  30854  rrvmulc  30855
 Copyright terms: Public domain W3C validator