HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cnlnadjlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnlnadjlem2 29055
Description: Lemma for cnlnadji 29063. 𝐺 is a continuous linear functional. (Contributed by NM, 16-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cnlnadjlem.1 𝑇 ∈ LinOp
cnlnadjlem.2 𝑇 ∈ ContOp
cnlnadjlem.3 𝐺 = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑔) ·ih 𝑦))
Assertion
Ref Expression
cnlnadjlem2 (𝑦 ∈ ℋ → (𝐺 ∈ LinFn ∧ 𝐺 ∈ ContFn))
Distinct variable group:   𝑦,𝑔,𝑇
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑦,𝑔)

Proof of Theorem cnlnadjlem2
Dummy variables 𝑤 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnlnadjlem.1 . . . . . . . 8 𝑇 ∈ LinOp
21lnopfi 28956 . . . . . . 7 𝑇: ℋ⟶ ℋ
32ffvelrni 6398 . . . . . 6 (𝑔 ∈ ℋ → (𝑇𝑔) ∈ ℋ)
4 hicl 28065 . . . . . 6 (((𝑇𝑔) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑔) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
53, 4sylan 487 . . . . 5 ((𝑔 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑔) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
65ancoms 468 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑔 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑔) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
7 cnlnadjlem.3 . . . 4 𝐺 = (𝑔 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑔) ·ih 𝑦))
86, 7fmptd 6425 . . 3 (𝑦 ∈ ℋ → 𝐺: ℋ⟶ℂ)
9 hvmulcl 27998 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ)
101lnopaddi 28958 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) = ((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) + (𝑇𝑧)))
11103adant3 1101 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) = ((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) + (𝑇𝑧)))
1211oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) + (𝑇𝑧)) ·ih 𝑦))
132ffvelrni 6398 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ → (𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ∈ ℋ)
142ffvelrni 6398 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℋ → (𝑇𝑧) ∈ ℋ)
15 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℋ → 𝑦 ∈ ℋ)
16 ax-his2 28068 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) + (𝑇𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)))
1713, 14, 15, 16syl3an 1408 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) + (𝑇𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)))
1812, 17eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)))
19183comr 1290 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)))
20193expa 1284 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)))
219, 20sylanl2 684 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) ·ih 𝑦) = (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)))
22 hvaddcl 27997 . . . . . . . . 9 (((𝑥 · 𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · 𝑤) + 𝑧) ∈ ℋ)
239, 22sylan 487 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · 𝑤) + 𝑧) ∈ ℋ)
24 cnlnadjlem.2 . . . . . . . . 9 𝑇 ∈ ContOp
251, 24, 7cnlnadjlem1 29054 . . . . . . . 8 (((𝑥 · 𝑤) + 𝑧) ∈ ℋ → (𝐺‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) = ((𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) ·ih 𝑦))
2623, 25syl 17 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝐺‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) = ((𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) ·ih 𝑦))
2726adantll 750 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝐺‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) = ((𝑇‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) ·ih 𝑦))
282ffvelrni 6398 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℋ → (𝑇𝑤) ∈ ℋ)
29 ax-his3 28069 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑤) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 · (𝑇𝑤)) ·ih 𝑦) = (𝑥 · ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦)))
3028, 29syl3an2 1400 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 · (𝑇𝑤)) ·ih 𝑦) = (𝑥 · ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦)))
31303comr 1290 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑥 · (𝑇𝑤)) ·ih 𝑦) = (𝑥 · ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦)))
32313expb 1285 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑥 · (𝑇𝑤)) ·ih 𝑦) = (𝑥 · ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦)))
331lnopmuli 28959 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) = (𝑥 · (𝑇𝑤)))
3433oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦) = ((𝑥 · (𝑇𝑤)) ·ih 𝑦))
3534adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦) = ((𝑥 · (𝑇𝑤)) ·ih 𝑦))
361, 24, 7cnlnadjlem1 29054 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℋ → (𝐺𝑤) = ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦))
3736oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℋ → (𝑥 · (𝐺𝑤)) = (𝑥 · ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦)))
3837ad2antll 765 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑥 · (𝐺𝑤)) = (𝑥 · ((𝑇𝑤) ·ih 𝑦)))
3932, 35, 383eqtr4rd 2696 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → (𝑥 · (𝐺𝑤)) = ((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦))
401, 24, 7cnlnadjlem1 29054 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℋ → (𝐺𝑧) = ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦))
4139, 40oveqan12d 6709 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑥 · (𝐺𝑤)) + (𝐺𝑧)) = (((𝑇‘(𝑥 · 𝑤)) ·ih 𝑦) + ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)))
4221, 27, 413eqtr4d 2695 . . . . 5 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝐺‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) = ((𝑥 · (𝐺𝑤)) + (𝐺𝑧)))
4342ralrimiva 2995 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℋ)) → ∀𝑧 ∈ ℋ (𝐺‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) = ((𝑥 · (𝐺𝑤)) + (𝐺𝑧)))
4443ralrimivva 3000 . . 3 (𝑦 ∈ ℋ → ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝐺‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) = ((𝑥 · (𝐺𝑤)) + (𝐺𝑧)))
45 ellnfn 28870 . . 3 (𝐺 ∈ LinFn ↔ (𝐺: ℋ⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ (𝐺‘((𝑥 · 𝑤) + 𝑧)) = ((𝑥 · (𝐺𝑤)) + (𝐺𝑧))))
468, 44, 45sylanbrc 699 . 2 (𝑦 ∈ ℋ → 𝐺 ∈ LinFn)
471, 24nmcopexi 29014 . . . . 5 (normop𝑇) ∈ ℝ
48 normcl 28110 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℋ → (norm𝑦) ∈ ℝ)
49 remulcl 10059 . . . . 5 (((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ (norm𝑦) ∈ ℝ) → ((normop𝑇) · (norm𝑦)) ∈ ℝ)
5047, 48, 49sylancr 696 . . . 4 (𝑦 ∈ ℋ → ((normop𝑇) · (norm𝑦)) ∈ ℝ)
5140adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝐺𝑧) = ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦))
52 hicl 28065 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
5314, 52sylan 487 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑧) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
5451, 53eqeltrd 2730 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
5554abscld 14219 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺𝑧)) ∈ ℝ)
56 normcl 28110 . . . . . . . . . 10 ((𝑇𝑧) ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑧)) ∈ ℝ)
5714, 56syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑧)) ∈ ℝ)
58 remulcl 10059 . . . . . . . . 9 (((norm‘(𝑇𝑧)) ∈ ℝ ∧ (norm𝑦) ∈ ℝ) → ((norm‘(𝑇𝑧)) · (norm𝑦)) ∈ ℝ)
5957, 48, 58syl2an 493 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑇𝑧)) · (norm𝑦)) ∈ ℝ)
60 normcl 28110 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℋ → (norm𝑧) ∈ ℝ)
61 remulcl 10059 . . . . . . . . . 10 (((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ (norm𝑧) ∈ ℝ) → ((normop𝑇) · (norm𝑧)) ∈ ℝ)
6247, 60, 61sylancr 696 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℋ → ((normop𝑇) · (norm𝑧)) ∈ ℝ)
63 remulcl 10059 . . . . . . . . 9 ((((normop𝑇) · (norm𝑧)) ∈ ℝ ∧ (norm𝑦) ∈ ℝ) → (((normop𝑇) · (norm𝑧)) · (norm𝑦)) ∈ ℝ)
6462, 48, 63syl2an 493 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((normop𝑇) · (norm𝑧)) · (norm𝑦)) ∈ ℝ)
6551fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺𝑧)) = (abs‘((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)))
66 bcs 28166 . . . . . . . . . 10 (((𝑇𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)) ≤ ((norm‘(𝑇𝑧)) · (norm𝑦)))
6714, 66sylan 487 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑇𝑧) ·ih 𝑦)) ≤ ((norm‘(𝑇𝑧)) · (norm𝑦)))
6865, 67eqbrtrd 4707 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ ((norm‘(𝑇𝑧)) · (norm𝑦)))
6957adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑇𝑧)) ∈ ℝ)
7062adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((normop𝑇) · (norm𝑧)) ∈ ℝ)
71 normge0 28111 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℋ → 0 ≤ (norm𝑦))
7248, 71jca 553 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℋ → ((norm𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm𝑦)))
7372adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((norm𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm𝑦)))
741, 24nmcoplbi 29015 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑧)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝑧)))
7574adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑇𝑧)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝑧)))
76 lemul1a 10915 . . . . . . . . 9 ((((norm‘(𝑇𝑧)) ∈ ℝ ∧ ((normop𝑇) · (norm𝑧)) ∈ ℝ ∧ ((norm𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm𝑦))) ∧ (norm‘(𝑇𝑧)) ≤ ((normop𝑇) · (norm𝑧))) → ((norm‘(𝑇𝑧)) · (norm𝑦)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑧)) · (norm𝑦)))
7769, 70, 73, 75, 76syl31anc 1369 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑇𝑧)) · (norm𝑦)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑧)) · (norm𝑦)))
7855, 59, 64, 68, 77letrd 10232 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑧)) · (norm𝑦)))
7960recnd 10106 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℋ → (norm𝑧) ∈ ℂ)
8048recnd 10106 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℋ → (norm𝑦) ∈ ℂ)
8147recni 10090 . . . . . . . . 9 (normop𝑇) ∈ ℂ
82 mul32 10241 . . . . . . . . 9 (((normop𝑇) ∈ ℂ ∧ (norm𝑧) ∈ ℂ ∧ (norm𝑦) ∈ ℂ) → (((normop𝑇) · (norm𝑧)) · (norm𝑦)) = (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧)))
8381, 82mp3an1 1451 . . . . . . . 8 (((norm𝑧) ∈ ℂ ∧ (norm𝑦) ∈ ℂ) → (((normop𝑇) · (norm𝑧)) · (norm𝑦)) = (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧)))
8479, 80, 83syl2an 493 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((normop𝑇) · (norm𝑧)) · (norm𝑦)) = (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧)))
8578, 84breqtrd 4711 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧)))
8685ancoms 468 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧)))
8786ralrimiva 2995 . . . 4 (𝑦 ∈ ℋ → ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧)))
88 oveq1 6697 . . . . . . 7 (𝑥 = ((normop𝑇) · (norm𝑦)) → (𝑥 · (norm𝑧)) = (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧)))
8988breq2d 4697 . . . . . 6 (𝑥 = ((normop𝑇) · (norm𝑦)) → ((abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm𝑧)) ↔ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧))))
9089ralbidv 3015 . . . . 5 (𝑥 = ((normop𝑇) · (norm𝑦)) → (∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm𝑧)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧))))
9190rspcev 3340 . . . 4 ((((normop𝑇) · (norm𝑦)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (((normop𝑇) · (norm𝑦)) · (norm𝑧))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm𝑧)))
9250, 87, 91syl2anc 694 . . 3 (𝑦 ∈ ℋ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm𝑧)))
93 lnfncon 29043 . . . 4 (𝐺 ∈ LinFn → (𝐺 ∈ ContFn ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm𝑧))))
9446, 93syl 17 . . 3 (𝑦 ∈ ℋ → (𝐺 ∈ ContFn ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℋ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (𝑥 · (norm𝑧))))
9592, 94mpbird 247 . 2 (𝑦 ∈ ℋ → 𝐺 ∈ ContFn)
9646, 95jca 553 1 (𝑦 ∈ ℋ → (𝐺 ∈ LinFn ∧ 𝐺 ∈ ContFn))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942   class class class wbr 4685  cmpt 4762  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974   + caddc 9977   · cmul 9979  cle 10113  abscabs 14018  chil 27904   + cva 27905   · csm 27906   ·ih csp 27907  normcno 27908  normopcnop 27930  ContOpccop 27931  LinOpclo 27932  ContFnccnfn 27938  LinFnclf 27939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054  ax-hilex 27984  ax-hfvadd 27985  ax-hvcom 27986  ax-hvass 27987  ax-hv0cl 27988  ax-hvaddid 27989  ax-hfvmul 27990  ax-hvmulid 27991  ax-hvmulass 27992  ax-hvdistr1 27993  ax-hvdistr2 27994  ax-hvmul0 27995  ax-hfi 28064  ax-his1 28067  ax-his2 28068  ax-his3 28069  ax-his4 28070
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-t1 21166  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-grpo 27475  df-gid 27476  df-ginv 27477  df-gdiv 27478  df-ablo 27527  df-vc 27542  df-nv 27575  df-va 27578  df-ba 27579  df-sm 27580  df-0v 27581  df-vs 27582  df-nmcv 27583  df-ims 27584  df-dip 27684  df-ph 27796  df-hnorm 27953  df-hba 27954  df-hvsub 27956  df-nmop 28826  df-cnop 28827  df-lnop 28828  df-nmfn 28832  df-cnfn 28834  df-lnfn 28835
This theorem is referenced by:  cnlnadjlem3  29056  cnlnadjlem5  29058
  Copyright terms: Public domain W3C validator