Theorem cnima 21291

Description: An open subset of the codomain of a continuous function has an open preimage. (Contributed by FL, 15-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
cnima	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem cnima

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	iscn2 21264	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
4	3	simprbi 483	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐹:∪ 𝐽⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽))
5	4	simprd 482	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)
6		imaeq2 5620	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (◡𝐹 “ 𝑥) = (◡𝐹 “ 𝐴))
7	6	eleq1d 2824	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽 ↔ (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽))
8	7	rspccva 3448	. 2 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)
9	5, 8	sylan 489	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  ∪ cuni 4588  ^◡ccnv 5265   “ cima 5269  ⟶wf 6045  (class class class)co 6814  Topctop 20920   Cn ccn 21250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-map 8027  df-top 20921  df-topon 20938  df-cn 21253

This theorem is referenced by:  cnco  21292  cnclima  21294  cnntri  21297  cnss1  21302  cnss2  21303  cncnpi  21304  cnrest  21311  cnt0  21372  cnhaus  21380  cncmp  21417  cnconn  21447  2ndcomap  21483  kgencn3  21583  txcnmpt  21649  txdis1cn  21660  pthaus  21663  ptrescn  21664  txkgen  21677  xkoco2cn  21683  xkococnlem  21684  txconn  21714  imasnopn  21715  qtopkgen  21735  qtopss  21740  isr0  21762  kqreglem1  21766  kqreglem2  21767  kqnrmlem1  21768  kqnrmlem2  21769  hmeoima  21790  hmeoopn  21791  hmeoimaf1o  21795  reghmph  21818  nrmhmph  21819  tmdgsum2  22121  symgtgp  22126  ghmcnp  22139  tgpt0  22143  qustgpopn  22144  qustgplem  22145  nmhmcn  23140  mbfimaopnlem  23641  cncombf  23644  cnmbf  23645  dvloglem  24614  efopnlem2  24623  efopn  24624  atansopn  24879  cnmbfm  30655  cvmsss2  31584  cvmliftmolem2  31592  cvmliftlem15  31608  cvmlift2lem9a  31613  cvmlift2lem9  31621  cvmlift2lem10  31622  cvmlift3lem6  31634  cvmlift3lem8  31636  dvtanlem  33790  rfcnpre1  39695  rfcnpre2  39707  icccncfext  40621