Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnidOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnidOLD 27768
 Description: Obsolete as of 23-Jan-2020. Use cnaddid 18494 instead. The group identity element of complex number addition is zero. (Contributed by Steve Rodriguez, 3-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
cnidOLD 0 = (GId‘ + )

Proof of Theorem cnidOLD
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnaddabloOLD 27767 . . . 4 + ∈ AbelOp
2 ablogrpo 27732 . . . 4 ( + ∈ AbelOp → + ∈ GrpOp)
31, 2ax-mp 5 . . 3 + ∈ GrpOp
4 ax-addf 10228 . . . . . 6 + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
54fdmi 6214 . . . . 5 dom + = (ℂ × ℂ)
63, 5grporn 27706 . . . 4 ℂ = ran +
7 eqid 2761 . . . 4 (GId‘ + ) = (GId‘ + )
86, 7grpoidval 27698 . . 3 ( + ∈ GrpOp → (GId‘ + ) = (𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥))
93, 8ax-mp 5 . 2 (GId‘ + ) = (𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥)
10 addid2 10432 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
1110rgen 3061 . . 3 𝑥 ∈ ℂ (0 + 𝑥) = 𝑥
12 0cn 10245 . . . 4 0 ∈ ℂ
136grpoideu 27694 . . . . 5 ( + ∈ GrpOp → ∃!𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥)
143, 13ax-mp 5 . . . 4 ∃!𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥
15 oveq1 6822 . . . . . . 7 (𝑦 = 0 → (𝑦 + 𝑥) = (0 + 𝑥))
1615eqeq1d 2763 . . . . . 6 (𝑦 = 0 → ((𝑦 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (0 + 𝑥) = 𝑥))
1716ralbidv 3125 . . . . 5 (𝑦 = 0 → (∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℂ (0 + 𝑥) = 𝑥))
1817riota2 6798 . . . 4 ((0 ∈ ℂ ∧ ∃!𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥) → (∀𝑥 ∈ ℂ (0 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥) = 0))
1912, 14, 18mp2an 710 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℂ (0 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥) = 0)
2011, 19mpbi 220 . 2 (𝑦 ∈ ℂ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑥) = 𝑥) = 0
219, 20eqtr2i 2784 1 0 = (GId‘ + )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   = wceq 1632   ∈ wcel 2140  ∀wral 3051  ∃!wreu 3053   × cxp 5265  ‘cfv 6050  ℩crio 6775  (class class class)co 6815  ℂcc 10147  0cc0 10149   + caddc 10152  GrpOpcgr 27674  GIdcgi 27675  AbelOpcablo 27729 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-addf 10228 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-po 5188  df-so 5189  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-ltxr 10292  df-sub 10481  df-neg 10482  df-grpo 27678  df-gid 27679  df-ablo 27730 This theorem is referenced by:  cnnv  27863
 Copyright terms: Public domain W3C validator