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Theorem cnhaus 21206
Description: The preimage of a Hausdorff topology under an injective map is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnhaus ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Haus)

Proof of Theorem cnhaus
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑣 𝑢 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntop1 21092 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
213ad2ant3 1104 . 2 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Top)
3 simpl1 1084 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝐾 ∈ Haus)
4 simpl3 1086 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5 eqid 2651 . . . . . . . . 9 𝐽 = 𝐽
6 eqid 2651 . . . . . . . . 9 𝐾 = 𝐾
75, 6cnf 21098 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹: 𝐽 𝐾)
84, 7syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝐹: 𝐽 𝐾)
9 simprll 819 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝑥 𝐽)
108, 9ffvelrnd 6400 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐾)
11 simprlr 820 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝑦 𝐽)
128, 11ffvelrnd 6400 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝐾)
13 simprr 811 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝑥𝑦)
14 simpl2 1085 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝐹:𝑋1-1𝑌)
15 fdm 6089 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹: 𝐽 𝐾 → dom 𝐹 = 𝐽)
168, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → dom 𝐹 = 𝐽)
17 f1dm 6143 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑋1-1𝑌 → dom 𝐹 = 𝑋)
1814, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → dom 𝐹 = 𝑋)
1916, 18eqtr3d 2687 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝐽 = 𝑋)
209, 19eleqtrd 2732 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝑥𝑋)
2111, 19eleqtrd 2732 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → 𝑦𝑋)
22 f1fveq 6559 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑋1-1𝑌 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
2314, 20, 21, 22syl12anc 1364 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
2423necon3bid 2867 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → ((𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦) ↔ 𝑥𝑦))
2513, 24mpbird 247 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦))
266hausnei 21180 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Haus ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝐾 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝐾 ∧ (𝐹𝑥) ≠ (𝐹𝑦))) → ∃𝑢𝐾𝑣𝐾 ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))
273, 10, 12, 25, 26syl13anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → ∃𝑢𝐾𝑣𝐾 ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))
28 simpll3 1122 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
29 simprll 819 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → 𝑢𝐾)
30 cnima 21117 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑢𝐾) → (𝐹𝑢) ∈ 𝐽)
3128, 29, 30syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → (𝐹𝑢) ∈ 𝐽)
32 simprlr 820 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → 𝑣𝐾)
33 cnima 21117 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑣𝐾) → (𝐹𝑣) ∈ 𝐽)
3428, 32, 33syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → (𝐹𝑣) ∈ 𝐽)
359adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → 𝑥 𝐽)
36 simprr1 1129 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑢)
378adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → 𝐹: 𝐽 𝐾)
38 ffn 6083 . . . . . . . . . . 11 (𝐹: 𝐽 𝐾𝐹 Fn 𝐽)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → 𝐹 Fn 𝐽)
40 elpreima 6377 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn 𝐽 → (𝑥 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑥 𝐽 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑢)))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → (𝑥 ∈ (𝐹𝑢) ↔ (𝑥 𝐽 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑢)))
4235, 36, 41mpbir2and 977 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → 𝑥 ∈ (𝐹𝑢))
4311adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → 𝑦 𝐽)
44 simprr2 1130 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑣)
45 elpreima 6377 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn 𝐽 → (𝑦 ∈ (𝐹𝑣) ↔ (𝑦 𝐽 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣)))
4639, 45syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → (𝑦 ∈ (𝐹𝑣) ↔ (𝑦 𝐽 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣)))
4743, 44, 46mpbir2and 977 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑣))
48 ffun 6086 . . . . . . . . . 10 (𝐹: 𝐽 𝐾 → Fun 𝐹)
49 inpreima 6382 . . . . . . . . . 10 (Fun 𝐹 → (𝐹 “ (𝑢𝑣)) = ((𝐹𝑢) ∩ (𝐹𝑣)))
5037, 48, 493syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → (𝐹 “ (𝑢𝑣)) = ((𝐹𝑢) ∩ (𝐹𝑣)))
51 simprr3 1131 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → (𝑢𝑣) = ∅)
5251imaeq2d 5501 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → (𝐹 “ (𝑢𝑣)) = (𝐹 “ ∅))
53 ima0 5516 . . . . . . . . . 10 (𝐹 “ ∅) = ∅
5452, 53syl6eq 2701 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → (𝐹 “ (𝑢𝑣)) = ∅)
5550, 54eqtr3d 2687 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → ((𝐹𝑢) ∩ (𝐹𝑣)) = ∅)
56 eleq2 2719 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝐹𝑢) → (𝑥𝑚𝑥 ∈ (𝐹𝑢)))
57 ineq1 3840 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝐹𝑢) → (𝑚𝑛) = ((𝐹𝑢) ∩ 𝑛))
5857eqeq1d 2653 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝐹𝑢) → ((𝑚𝑛) = ∅ ↔ ((𝐹𝑢) ∩ 𝑛) = ∅))
5956, 583anbi13d 1441 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝐹𝑢) → ((𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ (𝐹𝑢) ∧ 𝑦𝑛 ∧ ((𝐹𝑢) ∩ 𝑛) = ∅)))
60 eleq2 2719 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝐹𝑣) → (𝑦𝑛𝑦 ∈ (𝐹𝑣)))
61 ineq2 3841 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝐹𝑣) → ((𝐹𝑢) ∩ 𝑛) = ((𝐹𝑢) ∩ (𝐹𝑣)))
6261eqeq1d 2653 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝐹𝑣) → (((𝐹𝑢) ∩ 𝑛) = ∅ ↔ ((𝐹𝑢) ∩ (𝐹𝑣)) = ∅))
6360, 623anbi23d 1442 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝐹𝑣) → ((𝑥 ∈ (𝐹𝑢) ∧ 𝑦𝑛 ∧ ((𝐹𝑢) ∩ 𝑛) = ∅) ↔ (𝑥 ∈ (𝐹𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹𝑣) ∧ ((𝐹𝑢) ∩ (𝐹𝑣)) = ∅)))
6459, 63rspc2ev 3355 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑢) ∈ 𝐽 ∧ (𝐹𝑣) ∈ 𝐽 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹𝑢) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹𝑣) ∧ ((𝐹𝑢) ∩ (𝐹𝑣)) = ∅)) → ∃𝑚𝐽𝑛𝐽 (𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))
6531, 34, 42, 47, 55, 64syl113anc 1378 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ ((𝑢𝐾𝑣𝐾) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅))) → ∃𝑚𝐽𝑛𝐽 (𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))
6665expr 642 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) ∧ (𝑢𝐾𝑣𝐾)) → (((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅) → ∃𝑚𝐽𝑛𝐽 (𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅)))
6766rexlimdvva 3067 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → (∃𝑢𝐾𝑣𝐾 ((𝐹𝑥) ∈ 𝑢 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑣 ∧ (𝑢𝑣) = ∅) → ∃𝑚𝐽𝑛𝐽 (𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅)))
6827, 67mpd 15 . . . 4 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ ((𝑥 𝐽𝑦 𝐽) ∧ 𝑥𝑦)) → ∃𝑚𝐽𝑛𝐽 (𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))
6968expr 642 . . 3 (((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) ∧ (𝑥 𝐽𝑦 𝐽)) → (𝑥𝑦 → ∃𝑚𝐽𝑛𝐽 (𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅)))
7069ralrimivva 3000 . 2 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(𝑥𝑦 → ∃𝑚𝐽𝑛𝐽 (𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅)))
715ishaus 21174 . 2 (𝐽 ∈ Haus ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ ∀𝑥 𝐽𝑦 𝐽(𝑥𝑦 → ∃𝑚𝐽𝑛𝐽 (𝑥𝑚𝑦𝑛 ∧ (𝑚𝑛) = ∅))))
722, 70, 71sylanbrc 699 1 ((𝐾 ∈ Haus ∧ 𝐹:𝑋1-1𝑌𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐽 ∈ Haus)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  cin 3606  c0 3948   cuni 4468  ccnv 5142  dom cdm 5143  cima 5146  Fun wfun 5920   Fn wfn 5921  wf 5922  1-1wf1 5923  cfv 5926  (class class class)co 6690  Topctop 20746   Cn ccn 21076  Hauscha 21160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-map 7901  df-top 20747  df-topon 20764  df-cn 21079  df-haus 21167
This theorem is referenced by:  resthaus  21220  sshaus  21227  haushmph  21643
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