MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnflduss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnflduss 23371
Description: The uniform structure of the complex numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
cnflduss.1 𝑈 = (UnifSt‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
cnflduss 𝑈 = (metUnif‘(abs ∘ − ))

Proof of Theorem cnflduss
StepHypRef Expression
1 cnflduss.1 . 2 𝑈 = (UnifSt‘ℂfld)
2 0cn 10234 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
32ne0ii 4071 . . . . . 6 ℂ ≠ ∅
4 cnxmet 22796 . . . . . . 7 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
5 xmetpsmet 22373 . . . . . . 7 ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ))
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ)
7 metuust 22585 . . . . . 6 ((ℂ ≠ ∅ ∧ (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ)) → (metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ (UnifOn‘ℂ))
83, 6, 7mp2an 672 . . . . 5 (metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ (UnifOn‘ℂ)
9 ustuni 22250 . . . . 5 ((metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ (UnifOn‘ℂ) → (metUnif‘(abs ∘ − )) = (ℂ × ℂ))
108, 9ax-mp 5 . . . 4 (metUnif‘(abs ∘ − )) = (ℂ × ℂ)
1110eqcomi 2780 . . 3 (ℂ × ℂ) = (metUnif‘(abs ∘ − ))
12 cnfldbas 19965 . . . 4 ℂ = (Base‘ℂfld)
13 cnfldunif 19972 . . . 4 (metUnif‘(abs ∘ − )) = (UnifSet‘ℂfld)
1412, 13ussid 22284 . . 3 ((ℂ × ℂ) = (metUnif‘(abs ∘ − )) → (metUnif‘(abs ∘ − )) = (UnifSt‘ℂfld))
1511, 14ax-mp 5 . 2 (metUnif‘(abs ∘ − )) = (UnifSt‘ℂfld)
161, 15eqtr4i 2796 1 𝑈 = (metUnif‘(abs ∘ − ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  c0 4063   cuni 4574   × cxp 5247  ccom 5253  cfv 6031  cc 10136  0cc0 10138  cmin 10468  abscabs 14182  PsMetcpsmet 19945  ∞Metcxmt 19946  metUnifcmetu 19952  fldccnfld 19961  UnifOncust 22223  UnifStcuss 22277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ico 12386  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-rest 16291  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-metu 19960  df-cnfld 19962  df-fil 21870  df-ust 22224  df-uss 22280
This theorem is referenced by:  cnfldcusp  23372  reust  23388  qqhucn  30376  cnrrext  30394
  Copyright terms: Public domain W3C validator