MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldtopon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfldtopon 22708
Description: The topology of the complex numbers is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnfldtopn.1 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
cnfldtopon 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)

Proof of Theorem cnfldtopon
StepHypRef Expression
1 cnfldtps 22703 . 2 fld ∈ TopSp
2 cnfldbas 19873 . . 3 ℂ = (Base‘ℂfld)
3 cnfldtopn.1 . . 3 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
42, 3istps 20861 . 2 (ℂfld ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ))
51, 4mpbi 220 1 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1596  wcel 2103  cfv 6001  cc 10047  TopOpenctopn 16205  fldccnfld 19869  TopOnctopon 20838  TopSpctps 20859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-sup 8464  df-inf 8465  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-fz 12441  df-seq 12917  df-exp 12976  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-rest 16206  df-topn 16207  df-topgen 16227  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864  df-mopn 19865  df-cnfld 19870  df-top 20822  df-topon 20839  df-topsp 20860  df-bases 20873  df-xms 22247  df-ms 22248
This theorem is referenced by:  cnfldtop  22709  unicntop  22711  sszcld  22742  reperflem  22743  cnperf  22745  divcn  22793  fsumcn  22795  expcn  22797  divccn  22798  cncfcn1  22835  cncfmptc  22836  cncfmptid  22837  cncfmpt2f  22839  cdivcncf  22842  abscncfALT  22845  cncfcnvcn  22846  cnmptre  22848  iirevcn  22851  iihalf1cn  22853  iihalf2cn  22855  iimulcn  22859  icchmeo  22862  cnrehmeo  22874  cnheiborlem  22875  cnheibor  22876  cnllycmp  22877  evth  22880  evth2  22881  lebnumlem2  22883  reparphti  22918  pcoass  22945  csscld  23169  clsocv  23170  cncmet  23240  resscdrg  23275  mbfimaopnlem  23542  limcvallem  23755  ellimc2  23761  limcnlp  23762  limcflflem  23764  limcflf  23765  limcmo  23766  limcres  23770  cnplimc  23771  cnlimc  23772  limccnp  23775  limccnp2  23776  limciun  23778  dvbss  23785  perfdvf  23787  recnperf  23789  dvreslem  23793  dvres2lem  23794  dvres3a  23798  dvidlem  23799  dvcnp2  23803  dvcn  23804  dvnres  23814  dvaddbr  23821  dvmulbr  23822  dvcmulf  23828  dvcobr  23829  dvcjbr  23832  dvrec  23838  dvmptid  23840  dvmptc  23841  dvmptres2  23845  dvmptcmul  23847  dvmptntr  23854  dvmptfsum  23858  dvcnvlem  23859  dvcnv  23860  dvexp3  23861  dveflem  23862  dvlipcn  23877  lhop1lem  23896  lhop2  23898  lhop  23899  dvcnvrelem2  23901  dvcnvre  23902  ftc1lem3  23921  ftc1cn  23926  plycn  24137  dvply1  24159  dvtaylp  24244  taylthlem1  24247  taylthlem2  24248  ulmdvlem3  24276  psercn2  24297  psercn  24300  pserdvlem2  24302  pserdv  24303  abelth  24315  pige3  24389  logcn  24513  dvloglem  24514  logdmopn  24515  dvlog  24517  dvlog2  24519  efopnlem2  24523  efopn  24524  logtayl  24526  dvcxp1  24601  cxpcn  24606  cxpcn2  24607  cxpcn3  24609  resqrtcn  24610  sqrtcn  24611  loglesqrt  24619  atansopn  24779  dvatan  24782  xrlimcnp  24815  efrlim  24816  lgamucov  24884  lgamucov2  24885  ftalem3  24921  vmcn  27784  dipcn  27805  ipasslem7  27921  ipasslem8  27922  occllem  28392  nlelchi  29150  tpr2rico  30188  rmulccn  30204  raddcn  30205  cxpcncf1  30903  cvxpconn  31452  cvxsconn  31453  cnllysconn  31455  sinccvglem  31794  ivthALT  32557  knoppcnlem10  32719  knoppcnlem11  32720  broucube  33675  dvtanlem  33691  dvtan  33692  ftc1cnnc  33716  dvasin  33728  dvacos  33729  dvreasin  33730  dvreacos  33731  areacirclem1  33732  areacirclem2  33733  areacirclem4  33735  refsumcn  39605  fprodcnlem  40251  fprodcn  40252  fsumcncf  40511  ioccncflimc  40518  cncfuni  40519  icocncflimc  40522  cncfdmsn  40523  cncfiooicclem1  40526  cxpcncf2  40533  fprodsub2cncf  40539  fprodadd2cncf  40540  dvmptconst  40549  dvmptidg  40551  dvresntr  40552  itgsubsticclem  40611  dirkercncflem2  40741  dirkercncflem4  40743  dirkercncf  40744  fourierdlem32  40776  fourierdlem33  40777  fourierdlem62  40805  fourierdlem93  40836  fourierdlem101  40844
  Copyright terms: Public domain W3C validator