MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldstr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfldstr 19921
Description: The field of complex numbers is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
cnfldstr fld Struct ⟨1, 13⟩

Proof of Theorem cnfldstr
StepHypRef Expression
1 df-cnfld 19920 . 2 fld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
2 eqid 2748 . . . 4 ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
32srngfn 16181 . . 3 ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) Struct ⟨1, 4⟩
4 9nn 11355 . . . . 5 9 ∈ ℕ
5 tsetndx 16213 . . . . 5 (TopSet‘ndx) = 9
6 9lt10 11836 . . . . 5 9 < 10
7 10nn 11677 . . . . 5 10 ∈ ℕ
8 plendx 16220 . . . . 5 (le‘ndx) = 10
9 1nn0 11471 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
10 0nn0 11470 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
11 2nn 11348 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
12 2pos 11275 . . . . . 6 0 < 2
139, 10, 11, 12declt 11693 . . . . 5 10 < 12
149, 11decnncl 11681 . . . . 5 12 ∈ ℕ
15 dsndx 16235 . . . . 5 (dist‘ndx) = 12
164, 5, 6, 7, 8, 13, 14, 15strle3 16148 . . . 4 {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} Struct ⟨9, 12⟩
17 3nn 11349 . . . . . 6 3 ∈ ℕ
189, 17decnncl 11681 . . . . 5 13 ∈ ℕ
19 unifndx 16237 . . . . 5 (UnifSet‘ndx) = 13
2018, 19strle1 16146 . . . 4 {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩} Struct ⟨13, 13⟩
21 2nn0 11472 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
22 2lt3 11358 . . . . 5 2 < 3
239, 21, 17, 22declt 11693 . . . 4 12 < 13
2416, 20, 23strleun 16145 . . 3 ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) Struct ⟨9, 13⟩
25 4lt9 11389 . . 3 4 < 9
263, 24, 25strleun 16145 . 2 (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) Struct ⟨1, 13⟩
271, 26eqbrtri 4813 1 fld Struct ⟨1, 13⟩
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  cun 3701  {csn 4309  {ctp 4313  cop 4315   class class class wbr 4792  ccom 5258  cfv 6037  cc 10097  0cc0 10099  1c1 10100   + caddc 10102   · cmul 10104  cle 10238  cmin 10429  2c2 11233  3c3 11234  4c4 11235  9c9 11240  cdc 11656  ccj 14006  abscabs 14144   Struct cstr 16026  ndxcnx 16027  Basecbs 16030  +gcplusg 16114  .rcmulr 16115  *𝑟cstv 16116  TopSetcts 16120  lecple 16121  distcds 16123  UnifSetcunif 16124  MetOpencmopn 19909  metUnifcmetu 19910  fldccnfld 19919
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-7 11247  df-8 11248  df-9 11249  df-n0 11456  df-z 11541  df-dec 11657  df-uz 11851  df-fz 12491  df-struct 16032  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-plusg 16127  df-mulr 16128  df-starv 16129  df-tset 16133  df-ple 16134  df-ds 16137  df-unif 16138  df-cnfld 19920
This theorem is referenced by:  cnfldex  19922  cnfldbas  19923  cnfldadd  19924  cnfldmul  19925  cnfldcj  19926  cnfldtset  19927  cnfldle  19928  cnfldds  19929  cnfldunif  19930  cnfldfunALT  19932  cffldtocusgr  26524
  Copyright terms: Public domain W3C validator