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Theorem cnfldfun 19806
Description: The field of complex numbers is a function. (Contributed by AV, 14-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
cnfldfun Fun ℂfld

Proof of Theorem cnfldfun
StepHypRef Expression
1 basendxnplusgndx 16036 . . . . . . 7 (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
2 basendxnmulrndx 16046 . . . . . . 7 (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
3 plusgndxnmulrndx 16045 . . . . . . 7 (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
4 fvex 6239 . . . . . . . 8 (Base‘ndx) ∈ V
5 fvex 6239 . . . . . . . 8 (+g‘ndx) ∈ V
6 fvex 6239 . . . . . . . 8 (.r‘ndx) ∈ V
7 cnex 10055 . . . . . . . 8 ℂ ∈ V
8 addex 11868 . . . . . . . 8 + ∈ V
9 mulex 11869 . . . . . . . 8 · ∈ V
104, 5, 6, 7, 8, 9funtp 5983 . . . . . . 7 (((Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx)) → Fun {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩})
111, 2, 3, 10mp3an 1464 . . . . . 6 Fun {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
12 fvex 6239 . . . . . . 7 (*𝑟‘ndx) ∈ V
13 cjf 13888 . . . . . . . 8 ∗:ℂ⟶ℂ
14 fex 6530 . . . . . . . 8 ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ ℂ ∈ V) → ∗ ∈ V)
1513, 7, 14mp2an 708 . . . . . . 7 ∗ ∈ V
1612, 15funsn 5977 . . . . . 6 Fun {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}
1711, 16pm3.2i 470 . . . . 5 (Fun {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ Fun {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
187, 8, 9dmtpop 5647 . . . . . . 7 dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} = {(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)}
1915dmsnop 5645 . . . . . . 7 dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} = {(*𝑟‘ndx)}
2018, 19ineq12i 3845 . . . . . 6 (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)})
21 basendx 15970 . . . . . . . 8 (Base‘ndx) = 1
22 1re 10077 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
23 1lt4 11237 . . . . . . . . . 10 1 < 4
2422, 23ltneii 10188 . . . . . . . . 9 1 ≠ 4
25 starvndx 16051 . . . . . . . . 9 (*𝑟‘ndx) = 4
2624, 25neeqtrri 2896 . . . . . . . 8 1 ≠ (*𝑟‘ndx)
2721, 26eqnetri 2893 . . . . . . 7 (Base‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
28 plusgndx 16023 . . . . . . . 8 (+g‘ndx) = 2
29 2re 11128 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
30 2lt4 11236 . . . . . . . . . 10 2 < 4
3129, 30ltneii 10188 . . . . . . . . 9 2 ≠ 4
3231, 25neeqtrri 2896 . . . . . . . 8 2 ≠ (*𝑟‘ndx)
3328, 32eqnetri 2893 . . . . . . 7 (+g‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
34 mulrndx 16043 . . . . . . . 8 (.r‘ndx) = 3
35 3re 11132 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
36 3lt4 11235 . . . . . . . . . 10 3 < 4
3735, 36ltneii 10188 . . . . . . . . 9 3 ≠ 4
3837, 25neeqtrri 2896 . . . . . . . 8 3 ≠ (*𝑟‘ndx)
3934, 38eqnetri 2893 . . . . . . 7 (.r‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
40 disjtpsn 4283 . . . . . . 7 (((Base‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)) → ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)}) = ∅)
4127, 33, 39, 40mp3an 1464 . . . . . 6 ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)}) = ∅
4220, 41eqtri 2673 . . . . 5 (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = ∅
43 funun 5970 . . . . 5 (((Fun {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ Fun {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = ∅) → Fun ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}))
4417, 42, 43mp2an 708 . . . 4 Fun ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
45 tsetndx 16087 . . . . . . . 8 (TopSet‘ndx) = 9
46 9re 11145 . . . . . . . . . 10 9 ∈ ℝ
47 9lt10 11711 . . . . . . . . . 10 9 < 10
4846, 47ltneii 10188 . . . . . . . . 9 9 ≠ 10
49 plendx 16094 . . . . . . . . 9 (le‘ndx) = 10
5048, 49neeqtrri 2896 . . . . . . . 8 9 ≠ (le‘ndx)
5145, 50eqnetri 2893 . . . . . . 7 (TopSet‘ndx) ≠ (le‘ndx)
52 1nn 11069 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ
53 2nn0 11347 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
54 9nn0 11354 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℕ0
5546leidi 10600 . . . . . . . . . . 11 9 ≤ 9
5652, 53, 54, 55decltdi 11585 . . . . . . . . . 10 9 < 12
5746, 56ltneii 10188 . . . . . . . . 9 9 ≠ 12
58 dsndx 16109 . . . . . . . . 9 (dist‘ndx) = 12
5957, 58neeqtrri 2896 . . . . . . . 8 9 ≠ (dist‘ndx)
6045, 59eqnetri 2893 . . . . . . 7 (TopSet‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
61 10re 11555 . . . . . . . . . 10 10 ∈ ℝ
62 1nn0 11346 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ0
63 0nn0 11345 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℕ0
64 2nn 11223 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
65 2pos 11150 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
6662, 63, 64, 65declt 11568 . . . . . . . . . 10 10 < 12
6761, 66ltneii 10188 . . . . . . . . 9 10 ≠ 12
6867, 58neeqtrri 2896 . . . . . . . 8 10 ≠ (dist‘ndx)
6949, 68eqnetri 2893 . . . . . . 7 (le‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
70 fvex 6239 . . . . . . . 8 (TopSet‘ndx) ∈ V
71 fvex 6239 . . . . . . . 8 (le‘ndx) ∈ V
72 fvex 6239 . . . . . . . 8 (dist‘ndx) ∈ V
73 fvex 6239 . . . . . . . 8 (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ V
74 letsr 17274 . . . . . . . . 9 ≤ ∈ TosetRel
7574elexi 3244 . . . . . . . 8 ≤ ∈ V
76 absf 14121 . . . . . . . . . 10 abs:ℂ⟶ℝ
77 fex 6530 . . . . . . . . . 10 ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℂ ∈ V) → abs ∈ V)
7876, 7, 77mp2an 708 . . . . . . . . 9 abs ∈ V
79 subf 10321 . . . . . . . . . 10 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
807, 7xpex 7004 . . . . . . . . . 10 (ℂ × ℂ) ∈ V
81 fex 6530 . . . . . . . . . 10 (( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ ∧ (ℂ × ℂ) ∈ V) → − ∈ V)
8279, 80, 81mp2an 708 . . . . . . . . 9 − ∈ V
8378, 82coex 7160 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) ∈ V
8470, 71, 72, 73, 75, 83funtp 5983 . . . . . . 7 (((TopSet‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (dist‘ndx)) → Fun {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩})
8551, 60, 69, 84mp3an 1464 . . . . . 6 Fun {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}
86 fvex 6239 . . . . . . 7 (UnifSet‘ndx) ∈ V
87 fvex 6239 . . . . . . 7 (metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ V
8886, 87funsn 5977 . . . . . 6 Fun {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}
8985, 88pm3.2i 470 . . . . 5 (Fun {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ Fun {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})
9073, 75, 83dmtpop 5647 . . . . . . 7 dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} = {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)}
9187dmsnop 5645 . . . . . . 7 dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩} = {(UnifSet‘ndx)}
9290, 91ineq12i 3845 . . . . . 6 (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)})
93 3nn0 11348 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ0
9452, 93, 54, 55decltdi 11585 . . . . . . . . . 10 9 < 13
9546, 94ltneii 10188 . . . . . . . . 9 9 ≠ 13
96 unifndx 16111 . . . . . . . . 9 (UnifSet‘ndx) = 13
9795, 96neeqtrri 2896 . . . . . . . 8 9 ≠ (UnifSet‘ndx)
9845, 97eqnetri 2893 . . . . . . 7 (TopSet‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
99 3nn 11224 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ
100 3pos 11152 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
10162, 63, 99, 100declt 11568 . . . . . . . . . 10 10 < 13
10261, 101ltneii 10188 . . . . . . . . 9 10 ≠ 13
103102, 96neeqtrri 2896 . . . . . . . 8 10 ≠ (UnifSet‘ndx)
10449, 103eqnetri 2893 . . . . . . 7 (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
10562, 53deccl 11550 . . . . . . . . . . 11 12 ∈ ℕ0
106105nn0rei 11341 . . . . . . . . . 10 12 ∈ ℝ
107 2lt3 11233 . . . . . . . . . . 11 2 < 3
10862, 53, 99, 107declt 11568 . . . . . . . . . 10 12 < 13
109106, 108ltneii 10188 . . . . . . . . 9 12 ≠ 13
110109, 96neeqtrri 2896 . . . . . . . 8 12 ≠ (UnifSet‘ndx)
11158, 110eqnetri 2893 . . . . . . 7 (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
112 disjtpsn 4283 . . . . . . 7 (((TopSet‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) → ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅)
11398, 104, 111, 112mp3an 1464 . . . . . 6 ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅
11492, 113eqtri 2673 . . . . 5 (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅
115 funun 5970 . . . . 5 (((Fun {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ Fun {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) ∧ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅) → Fun ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
11689, 114, 115mp2an 708 . . . 4 Fun ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})
11744, 116pm3.2i 470 . . 3 (Fun ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ Fun ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
118 dmun 5363 . . . . 5 dom ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
119 dmun 5363 . . . . 5 dom ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})
120118, 119ineq12i 3845 . . . 4 (dom ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ dom ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
12118, 90ineq12i 3845 . . . . . . . . 9 (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)})
122 1lt9 11267 . . . . . . . . . . . . . 14 1 < 9
12322, 122ltneii 10188 . . . . . . . . . . . . 13 1 ≠ 9
124123, 45neeqtrri 2896 . . . . . . . . . . . 12 1 ≠ (TopSet‘ndx)
12521, 124eqnetri 2893 . . . . . . . . . . 11 (Base‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
126 2lt9 11266 . . . . . . . . . . . . . 14 2 < 9
12729, 126ltneii 10188 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 9
128127, 45neeqtrri 2896 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ (TopSet‘ndx)
12928, 128eqnetri 2893 . . . . . . . . . . 11 (+g‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
130 3lt9 11265 . . . . . . . . . . . . . 14 3 < 9
13135, 130ltneii 10188 . . . . . . . . . . . . 13 3 ≠ 9
132131, 45neeqtrri 2896 . . . . . . . . . . . 12 3 ≠ (TopSet‘ndx)
13334, 132eqnetri 2893 . . . . . . . . . . 11 (.r‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
134125, 129, 1333pm3.2i 1259 . . . . . . . . . 10 ((Base‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx))
135 1lt10 11719 . . . . . . . . . . . . . 14 1 < 10
13622, 135ltneii 10188 . . . . . . . . . . . . 13 1 ≠ 10
137136, 49neeqtrri 2896 . . . . . . . . . . . 12 1 ≠ (le‘ndx)
13821, 137eqnetri 2893 . . . . . . . . . . 11 (Base‘ndx) ≠ (le‘ndx)
139 2lt10 11718 . . . . . . . . . . . . . 14 2 < 10
14029, 139ltneii 10188 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 10
141140, 49neeqtrri 2896 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ (le‘ndx)
14228, 141eqnetri 2893 . . . . . . . . . . 11 (+g‘ndx) ≠ (le‘ndx)
143 3lt10 11717 . . . . . . . . . . . . . 14 3 < 10
14435, 143ltneii 10188 . . . . . . . . . . . . 13 3 ≠ 10
145144, 49neeqtrri 2896 . . . . . . . . . . . 12 3 ≠ (le‘ndx)
14634, 145eqnetri 2893 . . . . . . . . . . 11 (.r‘ndx) ≠ (le‘ndx)
147138, 142, 1463pm3.2i 1259 . . . . . . . . . 10 ((Base‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (le‘ndx))
14822, 46, 122ltleii 10198 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ≤ 9
14952, 53, 62, 148decltdi 11585 . . . . . . . . . . . . . 14 1 < 12
15022, 149ltneii 10188 . . . . . . . . . . . . 13 1 ≠ 12
151150, 58neeqtrri 2896 . . . . . . . . . . . 12 1 ≠ (dist‘ndx)
15221, 151eqnetri 2893 . . . . . . . . . . 11 (Base‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
15329, 46, 126ltleii 10198 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ≤ 9
15452, 53, 53, 153decltdi 11585 . . . . . . . . . . . . . 14 2 < 12
15529, 154ltneii 10188 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 12
156155, 58neeqtrri 2896 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ (dist‘ndx)
15728, 156eqnetri 2893 . . . . . . . . . . 11 (+g‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
15835, 46, 130ltleii 10198 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ≤ 9
15952, 53, 93, 158decltdi 11585 . . . . . . . . . . . . . 14 3 < 12
16035, 159ltneii 10188 . . . . . . . . . . . . 13 3 ≠ 12
161160, 58neeqtrri 2896 . . . . . . . . . . . 12 3 ≠ (dist‘ndx)
16234, 161eqnetri 2893 . . . . . . . . . . 11 (.r‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
163152, 157, 1623pm3.2i 1259 . . . . . . . . . 10 ((Base‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (dist‘ndx))
164 disjtp2 4284 . . . . . . . . . 10 ((((Base‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)) ∧ ((Base‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (le‘ndx)) ∧ ((Base‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (dist‘ndx))) → ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)}) = ∅)
165134, 147, 163, 164mp3an 1464 . . . . . . . . 9 ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)}) = ∅
166121, 165eqtri 2673 . . . . . . . 8 (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅
16718, 91ineq12i 3845 . . . . . . . . 9 (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)})
16852, 93, 62, 148decltdi 11585 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 13
16922, 168ltneii 10188 . . . . . . . . . . . 12 1 ≠ 13
170169, 96neeqtrri 2896 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ (UnifSet‘ndx)
17121, 170eqnetri 2893 . . . . . . . . . 10 (Base‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
17252, 93, 53, 153decltdi 11585 . . . . . . . . . . . . 13 2 < 13
17329, 172ltneii 10188 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 13
174173, 96neeqtrri 2896 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ (UnifSet‘ndx)
17528, 174eqnetri 2893 . . . . . . . . . 10 (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
17652, 93, 93, 158decltdi 11585 . . . . . . . . . . . . 13 3 < 13
17735, 176ltneii 10188 . . . . . . . . . . . 12 3 ≠ 13
178177, 96neeqtrri 2896 . . . . . . . . . . 11 3 ≠ (UnifSet‘ndx)
17934, 178eqnetri 2893 . . . . . . . . . 10 (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
180 disjtpsn 4283 . . . . . . . . . 10 (((Base‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) → ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅)
181171, 175, 179, 180mp3an 1464 . . . . . . . . 9 ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅
182167, 181eqtri 2673 . . . . . . . 8 (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅
183166, 182pm3.2i 470 . . . . . . 7 ((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅ ∧ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅)
184 undisj2 4063 . . . . . . 7 (((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅ ∧ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅) ↔ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅)
185183, 184mpbi 220 . . . . . 6 (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅
18619, 90ineq12i 3845 . . . . . . . . 9 (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)})
187 incom 3838 . . . . . . . . . 10 ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)}) = ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)})
188 4re 11135 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℝ
189 4lt9 11264 . . . . . . . . . . . . . 14 4 < 9
190188, 189gtneii 10187 . . . . . . . . . . . . 13 9 ≠ 4
191190, 25neeqtrri 2896 . . . . . . . . . . . 12 9 ≠ (*𝑟‘ndx)
19245, 191eqnetri 2893 . . . . . . . . . . 11 (TopSet‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
193 4lt10 11716 . . . . . . . . . . . . . 14 4 < 10
194188, 193gtneii 10187 . . . . . . . . . . . . 13 10 ≠ 4
195194, 25neeqtrri 2896 . . . . . . . . . . . 12 10 ≠ (*𝑟‘ndx)
19649, 195eqnetri 2893 . . . . . . . . . . 11 (le‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
197 4nn0 11349 . . . . . . . . . . . . . . 15 4 ∈ ℕ0
198188, 46, 189ltleii 10198 . . . . . . . . . . . . . . 15 4 ≤ 9
19952, 53, 197, 198decltdi 11585 . . . . . . . . . . . . . 14 4 < 12
200188, 199gtneii 10187 . . . . . . . . . . . . 13 12 ≠ 4
201200, 25neeqtrri 2896 . . . . . . . . . . . 12 12 ≠ (*𝑟‘ndx)
20258, 201eqnetri 2893 . . . . . . . . . . 11 (dist‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
203 disjtpsn 4283 . . . . . . . . . . 11 (((TopSet‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)) → ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)}) = ∅)
204192, 196, 202, 203mp3an 1464 . . . . . . . . . 10 ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)}) = ∅
205187, 204eqtri 2673 . . . . . . . . 9 ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)}) = ∅
206186, 205eqtri 2673 . . . . . . . 8 (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅
20719, 91ineq12i 3845 . . . . . . . . 9 (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)})
20852, 93, 197, 198decltdi 11585 . . . . . . . . . . . . 13 4 < 13
209188, 208ltneii 10188 . . . . . . . . . . . 12 4 ≠ 13
210209, 96neeqtrri 2896 . . . . . . . . . . 11 4 ≠ (UnifSet‘ndx)
21125, 210eqnetri 2893 . . . . . . . . . 10 (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
212 disjsn2 4279 . . . . . . . . . 10 ((*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) → ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅)
213211, 212ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅
214207, 213eqtri 2673 . . . . . . . 8 (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅
215206, 214pm3.2i 470 . . . . . . 7 ((dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅ ∧ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅)
216 undisj2 4063 . . . . . . 7 (((dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅ ∧ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅) ↔ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅)
217215, 216mpbi 220 . . . . . 6 (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅
218185, 217pm3.2i 470 . . . . 5 ((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅ ∧ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅)
219 undisj1 4062 . . . . 5 (((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅ ∧ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅) ↔ ((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅)
220218, 219mpbi 220 . . . 4 ((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅
221120, 220eqtri 2673 . . 3 (dom ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ dom ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅
222 funun 5970 . . 3 (((Fun ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ Fun ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) ∧ (dom ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ dom ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅) → Fun (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
223117, 221, 222mp2an 708 . 2 Fun (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
224 df-cnfld 19795 . . 3 fld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
225224funeqi 5947 . 2 (Fun ℂfld ↔ Fun (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
226223, 225mpbir 221 1 Fun ℂfld
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  Vcvv 3231  cun 3605  cin 3606  c0 3948  {csn 4210  {ctp 4214  cop 4216   × cxp 5141  dom cdm 5143  ccom 5147  Fun wfun 5920  wf 5922  cfv 5926  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  cle 10113  cmin 10304  2c2 11108  3c3 11109  4c4 11110  9c9 11115  cdc 11531  ccj 13880  abscabs 14018  ndxcnx 15901  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  .rcmulr 15989  *𝑟cstv 15990  TopSetcts 15994  lecple 15995  distcds 15997  UnifSetcunif 15998   TosetRel ctsr 17246  MetOpencmopn 19784  metUnifcmetu 19785  fldccnfld 19794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-rp 11871  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-ps 17247  df-tsr 17248  df-cnfld 19795
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