MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfldexp 19994
Description: The exponentiation operator in the field of complex numbers (for nonnegative exponents). (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnfldexp ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴𝐵))

Proof of Theorem cnfldexp
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6803 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (0(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴))
2 oveq2 6804 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝐴𝑥) = (𝐴↑0))
31, 2eqeq12d 2786 . . . 4 (𝑥 = 0 → ((𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴𝑥) ↔ (0(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑0)))
43imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = 0 → ((𝐴 ∈ ℂ → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴𝑥)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (0(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑0))))
5 oveq1 6803 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴))
6 oveq2 6804 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑦))
75, 6eqeq12d 2786 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴𝑥) ↔ (𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴𝑦)))
87imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴 ∈ ℂ → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴𝑥)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴𝑦))))
9 oveq1 6803 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = ((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴))
10 oveq2 6804 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐴𝑥) = (𝐴↑(𝑦 + 1)))
119, 10eqeq12d 2786 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴𝑥) ↔ ((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑(𝑦 + 1))))
1211imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝐴 ∈ ℂ → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴𝑥)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑(𝑦 + 1)))))
13 oveq1 6803 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐵(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴))
14 oveq2 6804 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝐵))
1513, 14eqeq12d 2786 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴𝑥) ↔ (𝐵(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴𝐵)))
1615imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ ℂ → (𝑥(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴𝑥)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐵(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴𝐵))))
17 eqid 2771 . . . . . 6 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
18 cnfldbas 19965 . . . . . 6 ℂ = (Base‘ℂfld)
1917, 18mgpbas 18703 . . . . 5 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
20 cnfld1 19986 . . . . . 6 1 = (1r‘ℂfld)
2117, 20ringidval 18711 . . . . 5 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
22 eqid 2771 . . . . 5 (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
2319, 21, 22mulg0 17754 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (0(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = 1)
24 exp0 13071 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
2523, 24eqtr4d 2808 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (0(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑0))
26 oveq1 6803 . . . . . 6 ((𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴𝑦) → ((𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) · 𝐴) = ((𝐴𝑦) · 𝐴))
27 cnring 19983 . . . . . . . . . 10 fld ∈ Ring
2817ringmgp 18761 . . . . . . . . . 10 (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd
30 cnfldmul 19967 . . . . . . . . . . 11 · = (.r‘ℂfld)
3117, 30mgpplusg 18701 . . . . . . . . . 10 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
3219, 22, 31mulgnn0p1 17760 . . . . . . . . 9 (((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = ((𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) · 𝐴))
3329, 32mp3an1 1559 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = ((𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) · 𝐴))
3433ancoms 446 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = ((𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) · 𝐴))
35 expp1 13074 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑦 + 1)) = ((𝐴𝑦) · 𝐴))
3634, 35eqeq12d 2786 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑(𝑦 + 1)) ↔ ((𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) · 𝐴) = ((𝐴𝑦) · 𝐴)))
3726, 36syl5ibr 236 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴𝑦) → ((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑(𝑦 + 1))))
3837expcom 398 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴𝑦) → ((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑(𝑦 + 1)))))
3938a2d 29 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ → (𝑦(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴𝑦)) → (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑦 + 1)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑(𝑦 + 1)))))
404, 8, 12, 16, 25, 39nn0ind 11679 . 2 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℂ → (𝐵(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴𝐵)))
4140impcom 394 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐵(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6030  (class class class)co 6796  cc 10140  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145   · cmul 10147  0cn0 11499  cexp 13067  Mndcmnd 17502  .gcmg 17748  mulGrpcmgp 18697  Ringcrg 18755  fldccnfld 19961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-addf 10221  ax-mulf 10222
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-mulg 17749  df-cmn 18402  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-cnfld 19962
This theorem is referenced by:  cmodscexp  23140  plypf1  24188  dchrfi  25201  dchrabs  25206  lgsqrlem1  25292  lgseisenlem4  25324  dchrisum0flblem1  25418  proot1ex  38305
  Copyright terms: Public domain W3C validator