MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfldbas 19798
Description: The base set of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
cnfldbas ℂ = (Base‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldbas
StepHypRef Expression
1 cnex 10055 . 2 ℂ ∈ V
2 cnfldstr 19796 . . 3 fld Struct ⟨1, 13⟩
3 baseid 15966 . . 3 Base = Slot (Base‘ndx)
4 snsstp1 4379 . . . 4 {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
5 ssun1 3809 . . . . 5 {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
6 ssun1 3809 . . . . . 6 ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7 df-cnfld 19795 . . . . . 6 fld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
86, 7sseqtr4i 3671 . . . . 5 ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ ℂfld
95, 8sstri 3645 . . . 4 {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ℂfld
104, 9sstri 3645 . . 3 {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩} ⊆ ℂfld
112, 3, 10strfv 15954 . 2 (ℂ ∈ V → ℂ = (Base‘ℂfld))
121, 11ax-mp 5 1 ℂ = (Base‘ℂfld)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  cun 3605  {csn 4210  {ctp 4214  cop 4216  ccom 5147  cfv 5926  cc 9972  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  cle 10113  cmin 10304  3c3 11109  cdc 11531  ccj 13880  abscabs 14018  ndxcnx 15901  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  .rcmulr 15989  *𝑟cstv 15990  TopSetcts 15994  lecple 15995  distcds 15997  UnifSetcunif 15998  MetOpencmopn 19784  metUnifcmetu 19785  fldccnfld 19794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-cnfld 19795
This theorem is referenced by:  cncrng  19815  cnfld0  19818  cnfld1  19819  cnfldneg  19820  cnfldplusf  19821  cnfldsub  19822  cndrng  19823  cnflddiv  19824  cnfldinv  19825  cnfldmulg  19826  cnfldexp  19827  cnsrng  19828  cnsubmlem  19842  cnsubglem  19843  cnsubrglem  19844  cnsubdrglem  19845  absabv  19851  cnsubrg  19854  cnmgpabl  19855  cnmgpid  19856  cnmsubglem  19857  gzrngunit  19860  gsumfsum  19861  regsumfsum  19862  expmhm  19863  nn0srg  19864  rge0srg  19865  zringbas  19872  zring0  19876  zringunit  19884  expghm  19892  cnmsgnbas  19972  psgninv  19976  zrhpsgnmhm  19978  rebase  20000  re0g  20006  regsumsupp  20016  cnfldms  22626  cnfldnm  22629  cnfldtopn  22632  cnfldtopon  22633  clmsscn  22925  cnlmod  22986  cnstrcvs  22987  cnrbas  22988  cncvs  22991  cnncvsaddassdemo  23009  cnncvsmulassdemo  23010  cnncvsabsnegdemo  23011  cphsubrglem  23023  cphreccllem  23024  cphdivcl  23028  cphabscl  23031  cphsqrtcl2  23032  cphsqrtcl3  23033  cphipcl  23037  4cphipval2  23087  cncms  23197  cnflduss  23198  cnfldcusp  23199  resscdrg  23200  ishl2  23212  recms  23214  tdeglem3  23864  tdeglem4  23865  tdeglem2  23866  plypf1  24013  dvply2g  24085  dvply2  24086  dvnply  24088  taylfvallem  24157  taylf  24160  tayl0  24161  taylpfval  24164  taylply2  24167  taylply  24168  efgh  24332  efabl  24341  efsubm  24342  jensenlem1  24758  jensenlem2  24759  jensen  24760  amgmlem  24761  amgm  24762  wilthlem2  24840  wilthlem3  24841  dchrelbas2  25007  dchrelbas3  25008  dchrn0  25020  dchrghm  25026  dchrabs  25030  sum2dchr  25044  lgseisenlem4  25148  qrngbas  25353  cchhllem  25812  cffldtocusgr  26399  xrge0slmod  29972  psgnid  29975  iistmd  30076  xrge0iifmhm  30113  xrge0pluscn  30114  zringnm  30132  cnzh  30142  rezh  30143  cnrrext  30182  esumpfinvallem  30264  cnpwstotbnd  33726  repwsmet  33763  rrnequiv  33764  cnsrexpcl  38052  fsumcnsrcl  38053  cnsrplycl  38054  rngunsnply  38060  proot1ex  38096  deg1mhm  38102  amgm2d  38818  amgm3d  38819  amgm4d  38820  binomcxplemdvbinom  38869  binomcxplemnotnn0  38872  sge0tsms  40915  cnfldsrngbas  42094  2zrng0  42263  aacllem  42875  amgmwlem  42876  amgmlemALT  42877  amgmw2d  42878
  Copyright terms: Public domain W3C validator