MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfldadd 19974
Description: The addition operation of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
cnfldadd + = (+g‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfldadd
StepHypRef Expression
1 addex 12044 . 2 + ∈ V
2 cnfldstr 19971 . . 3 fld Struct ⟨1, 13⟩
3 plusgid 16200 . . 3 +g = Slot (+g‘ndx)
4 snsstp2 4494 . . . 4 {⟨(+g‘ndx), + ⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
5 ssun1 3920 . . . . 5 {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
6 ssun1 3920 . . . . . 6 ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7 df-cnfld 19970 . . . . . 6 fld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
86, 7sseqtr4i 3780 . . . . 5 ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ⊆ ℂfld
95, 8sstri 3754 . . . 4 {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ⊆ ℂfld
104, 9sstri 3754 . . 3 {⟨(+g‘ndx), + ⟩} ⊆ ℂfld
112, 3, 10strfv 16130 . 2 ( + ∈ V → + = (+g‘ℂfld))
121, 11ax-mp 5 1 + = (+g‘ℂfld)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1632  wcel 2140  Vcvv 3341  cun 3714  {csn 4322  {ctp 4326  cop 4328  ccom 5271  cfv 6050  cc 10147  1c1 10150   + caddc 10152   · cmul 10154  cle 10288  cmin 10479  3c3 11284  cdc 11706  ccj 14056  abscabs 14194  ndxcnx 16077  Basecbs 16080  +gcplusg 16164  .rcmulr 16165  *𝑟cstv 16166  TopSetcts 16170  lecple 16171  distcds 16173  UnifSetcunif 16174  MetOpencmopn 19959  metUnifcmetu 19960  fldccnfld 19969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-addf 10228
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-dec 11707  df-uz 11901  df-fz 12541  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-starv 16179  df-tset 16183  df-ple 16184  df-ds 16187  df-unif 16188  df-cnfld 19970
This theorem is referenced by:  cncrng  19990  cnfld0  19993  cnfldneg  19995  cnfldplusf  19996  cnfldsub  19997  cnfldmulg  20001  cnsrng  20003  cnsubmlem  20017  cnsubglem  20018  absabv  20026  cnsubrg  20029  gsumfsum  20036  regsumfsum  20037  expmhm  20038  nn0srg  20039  rge0srg  20040  zringplusg  20048  replusg  20179  regsumsupp  20191  clmadd  23095  clmacl  23105  isclmp  23118  cnlmod  23161  cnncvsaddassdemo  23184  cphsqrtcl2  23207  ipcau2  23254  tdeglem3  24039  tdeglem4  24040  taylply2  24342  efgh  24508  efabl  24517  jensenlem1  24934  jensenlem2  24935  amgmlem  24937  qabvle  25535  padicabv  25540  ostth2lem2  25544  ostth3  25548  xrge0slmod  30175  qqhghm  30363  qqhrhm  30364  esumpfinvallem  30467  fsumcnsrcl  38257  rngunsnply  38264  deg1mhm  38306  amgm2d  39022  amgm3d  39023  amgm4d  39024  sge0tsms  41119  cnfldsrngadd  42299  aacllem  43079  amgmw2d  43082
  Copyright terms: Public domain W3C validator