Theorem cnfld0 19972

Description: The zero element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnfld0	⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfld0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		00id 10403	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
2		cnring 19970	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
3		ringgrp 18752	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Grp
5		0cn 10224	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
6		cnfldbas 19952	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
7		cnfldadd 19953	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
8		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (0g‘ℂfld) = (0g‘ℂfld)
9	6, 7, 8	grpid 17658	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Grp ∧ 0 ∈ ℂ) → ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0))
10	4, 5, 9	mp2an 710	. . 3 ⊢ ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0)
11	1, 10	mpbi 220	. 2 ⊢ (0g‘ℂfld) = 0
12	11	eqcomi 2769	1 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

Syntax hints:   ↔ wb 196   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℂcc 10126  0cc0 10128   + caddc 10131  0_gc0g 16302  Grpcgrp 17623  Ringcrg 18747  ℂ_fldccnfld 19948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-addf 10207  ax-mulf 10208

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-fz 12520  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-cmn 18395  df-mgp 18690  df-ring 18749  df-cring 18750  df-cnfld 19949

This theorem is referenced by:  cnfldneg  19974  cndrng  19977  cnflddiv  19978  cnfldinv  19979  cnfldmulg  19980  cnsubmlem  19996  cnsubdrglem  19999  absabv  20005  qsssubdrg  20007  cnmgpabl  20009  cnmsubglem  20011  gzrngunitlem  20013  gzrngunit  20014  gsumfsum  20015  expmhm  20017  nn0srg  20018  rge0srg  20019  zring0  20030  zringunit  20038  expghm  20046  psgninv  20130  zrhpsgnmhm  20132  re0g  20160  regsumsupp  20170  cnfldnm  22783  clm0  23072  cphsubrglem  23177  cphreccllem  23178  tdeglem1  24017  tdeglem3  24018  tdeglem4  24019  plypf1  24167  dvply2g  24239  tayl0  24315  taylpfval  24318  efsubm  24496  jensenlem2  24913  jensen  24914  amgmlem  24915  amgm  24916  dchrghm  25180  dchrabs  25184  sum2dchr  25198  lgseisenlem4  25302  qrng0  25509  xrge0slmod  30153  zringnm  30313  rezh  30324  fsumcnsrcl  38238  cnsrplycl  38239  rngunsnply  38245  proot1ex  38281  deg1mhm  38287  2zrng0  42448  amgmwlem  43061  amgmlemALT  43062