Mathbox for ML < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnfin0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfin0 33577
 Description: The empty set is an ordinal in Cantor normal form. (Contributed by ML, 24-Jun-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfin.1 𝐼 = {⟨∅, 1𝑜⟩}
cnfin.add + = (𝑦 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (𝑛 ∈ (dom 𝑦 ∪ dom 𝑧) ↦ ((𝑦𝑛) +𝑜 (𝑧𝑛))))
cnfin.tr (𝜑 ↔ ∃𝑧(⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑐 ∧ ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∈ 𝑐))
cnfin.ltadd (𝜓 ↔ (𝑥 ∈ (dom 𝑐 ∪ ran 𝑐) ∧ ∃𝑏 ∈ ran 𝑐 𝑦 = (𝑥 + 𝑏)))
cnfin.ltexp (𝜒 ↔ ∃𝑎𝑏(⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ 𝑐 ∧ (𝑥 = {⟨𝑎, 1𝑜⟩} ∧ 𝑦 = {⟨𝑏, 1𝑜⟩})))
cnfin.yrule 𝑌 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝑐 ∨ (𝜑 ∨ (𝜓𝜒)))}
cnfin.lt < = ran (rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑌), {⟨∅, 𝐼⟩}) ↾ ω)
cnfin.def 𝐶 = dom <
Assertion
Ref Expression
cnfin0 ∅ ∈ 𝐶

Proof of Theorem cnfin0
StepHypRef Expression
1 opex 5060 . . . . . 6 ⟨∅, 𝐼⟩ ∈ V
21snid 4347 . . . . 5 ⟨∅, 𝐼⟩ ∈ {⟨∅, 𝐼⟩}
3 snex 5036 . . . . . . 7 {⟨∅, 𝐼⟩} ∈ V
4 fr0g 7684 . . . . . . 7 ({⟨∅, 𝐼⟩} ∈ V → ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑌), {⟨∅, 𝐼⟩}) ↾ ω)‘∅) = {⟨∅, 𝐼⟩})
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑌), {⟨∅, 𝐼⟩}) ↾ ω)‘∅) = {⟨∅, 𝐼⟩}
6 frfnom 7683 . . . . . . 7 (rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑌), {⟨∅, 𝐼⟩}) ↾ ω) Fn ω
7 peano1 7232 . . . . . . 7 ∅ ∈ ω
8 fnfvelrn 6499 . . . . . . 7 (((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑌), {⟨∅, 𝐼⟩}) ↾ ω) Fn ω ∧ ∅ ∈ ω) → ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑌), {⟨∅, 𝐼⟩}) ↾ ω)‘∅) ∈ ran (rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑌), {⟨∅, 𝐼⟩}) ↾ ω))
96, 7, 8mp2an 672 . . . . . 6 ((rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑌), {⟨∅, 𝐼⟩}) ↾ ω)‘∅) ∈ ran (rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑌), {⟨∅, 𝐼⟩}) ↾ ω)
105, 9eqeltrri 2847 . . . . 5 {⟨∅, 𝐼⟩} ∈ ran (rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑌), {⟨∅, 𝐼⟩}) ↾ ω)
11 elunii 4579 . . . . 5 ((⟨∅, 𝐼⟩ ∈ {⟨∅, 𝐼⟩} ∧ {⟨∅, 𝐼⟩} ∈ ran (rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑌), {⟨∅, 𝐼⟩}) ↾ ω)) → ⟨∅, 𝐼⟩ ∈ ran (rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑌), {⟨∅, 𝐼⟩}) ↾ ω))
122, 10, 11mp2an 672 . . . 4 ⟨∅, 𝐼⟩ ∈ ran (rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑌), {⟨∅, 𝐼⟩}) ↾ ω)
13 cnfin.lt . . . 4 < = ran (rec((𝑐 ∈ V ↦ 𝑌), {⟨∅, 𝐼⟩}) ↾ ω)
1412, 13eleqtrri 2849 . . 3 ⟨∅, 𝐼⟩ ∈ <
15 0ex 4924 . . . 4 ∅ ∈ V
16 cnfin.1 . . . . 5 𝐼 = {⟨∅, 1𝑜⟩}
17 snex 5036 . . . . 5 {⟨∅, 1𝑜⟩} ∈ V
1816, 17eqeltri 2846 . . . 4 𝐼 ∈ V
1915, 18opeldm 5466 . . 3 (⟨∅, 𝐼⟩ ∈ < → ∅ ∈ dom < )
2014, 19ax-mp 5 . 2 ∅ ∈ dom <
21 cnfin.def . 2 𝐶 = dom <
2220, 21eleqtrri 2849 1 ∅ ∈ 𝐶
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∨ wo 836   = wceq 1631  ∃wex 1852   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3062  Vcvv 3351   ∪ cun 3721  ∅c0 4063  {csn 4316  ⟨cop 4322  ∪ cuni 4574  {copab 4846   ↦ cmpt 4863  dom cdm 5249  ran crn 5250   ↾ cres 5251   Fn wfn 6026  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793   ↦ cmpt2 6795  ωcom 7212  reccrdg 7658  1𝑜c1o 7706   +𝑜 coa 7710 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator