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Theorem cnfcom3lem 8560
Description: Lemma for cnfcom3 8561. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 4-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s 𝑆 = dom (ω CNF 𝐴)
cnfcom.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cnfcom.b (𝜑𝐵 ∈ (ω ↑𝑜 𝐴))
cnfcom.f 𝐹 = ((ω CNF 𝐴)‘𝐵)
cnfcom.g 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
cnfcom.h 𝐻 = seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (𝑀 +𝑜 𝑧)), ∅)
cnfcom.t 𝑇 = seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ 𝐾), ∅)
cnfcom.m 𝑀 = ((ω ↑𝑜 (𝐺𝑘)) ·𝑜 (𝐹‘(𝐺𝑘)))
cnfcom.k 𝐾 = ((𝑥𝑀 ↦ (dom 𝑓 +𝑜 𝑥)) ∪ (𝑥 ∈ dom 𝑓 ↦ (𝑀 +𝑜 𝑥)))
cnfcom.w 𝑊 = (𝐺 dom 𝐺)
cnfcom3.1 (𝜑 → ω ⊆ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
cnfcom3lem (𝜑𝑊 ∈ (On ∖ 1𝑜))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑧,𝐴   𝑥,𝑀   𝑓,𝑘,𝑥,𝑧,𝐹   𝑧,𝑇   𝑥,𝑊   𝑓,𝐺,𝑘,𝑥,𝑧   𝑓,𝐻,𝑥   𝑆,𝑘,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑥,𝑧,𝑓,𝑘)   𝑆(𝑥,𝑓)   𝑇(𝑥,𝑓,𝑘)   𝐻(𝑧,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑧,𝑓,𝑘)   𝑀(𝑧,𝑓,𝑘)   𝑊(𝑧,𝑓,𝑘)

Proof of Theorem cnfcom3lem
StepHypRef Expression
1 cnfcom.w . . 3 𝑊 = (𝐺 dom 𝐺)
2 cnfcom.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ On)
3 suppssdm 7268 . . . . . 6 (𝐹 supp ∅) ⊆ dom 𝐹
4 cnfcom.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = ((ω CNF 𝐴)‘𝐵)
5 cnfcom.s . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = dom (ω CNF 𝐴)
6 omelon 8503 . . . . . . . . . . . . . 14 ω ∈ On
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ω ∈ On)
85, 7, 2cantnff1o 8553 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ω CNF 𝐴):𝑆1-1-onto→(ω ↑𝑜 𝐴))
9 f1ocnv 6116 . . . . . . . . . . . 12 ((ω CNF 𝐴):𝑆1-1-onto→(ω ↑𝑜 𝐴) → (ω CNF 𝐴):(ω ↑𝑜 𝐴)–1-1-onto𝑆)
10 f1of 6104 . . . . . . . . . . . 12 ((ω CNF 𝐴):(ω ↑𝑜 𝐴)–1-1-onto𝑆(ω CNF 𝐴):(ω ↑𝑜 𝐴)⟶𝑆)
118, 9, 103syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑(ω CNF 𝐴):(ω ↑𝑜 𝐴)⟶𝑆)
12 cnfcom.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ (ω ↑𝑜 𝐴))
1311, 12ffvelrnd 6326 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ω CNF 𝐴)‘𝐵) ∈ 𝑆)
144, 13syl5eqel 2702 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹𝑆)
155, 7, 2cantnfs 8523 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑆 ↔ (𝐹:𝐴⟶ω ∧ 𝐹 finSupp ∅)))
1614, 15mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶ω ∧ 𝐹 finSupp ∅))
1716simpld 475 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐴⟶ω)
18 fdm 6018 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴⟶ω → dom 𝐹 = 𝐴)
1917, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
203, 19syl5sseq 3638 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ 𝐴)
21 ovex 6643 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 supp ∅) ∈ V
22 cnfcom.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = OrdIso( E , (𝐹 supp ∅))
2322oion 8401 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 supp ∅) ∈ V → dom 𝐺 ∈ On)
2421, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 dom 𝐺 ∈ On
2524elexi 3203 . . . . . . . . 9 dom 𝐺 ∈ V
2625uniex 6918 . . . . . . . 8 dom 𝐺 ∈ V
2726sucid 5773 . . . . . . 7 dom 𝐺 ∈ suc dom 𝐺
28 cnfcom.h . . . . . . . 8 𝐻 = seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (𝑀 +𝑜 𝑧)), ∅)
29 cnfcom.t . . . . . . . 8 𝑇 = seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑓 ∈ V ↦ 𝐾), ∅)
30 cnfcom.m . . . . . . . 8 𝑀 = ((ω ↑𝑜 (𝐺𝑘)) ·𝑜 (𝐹‘(𝐺𝑘)))
31 cnfcom.k . . . . . . . 8 𝐾 = ((𝑥𝑀 ↦ (dom 𝑓 +𝑜 𝑥)) ∪ (𝑥 ∈ dom 𝑓 ↦ (𝑀 +𝑜 𝑥)))
32 cnfcom3.1 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ω ⊆ 𝐵)
33 peano1 7047 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ ω
3433a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∅ ∈ ω)
3532, 34sseldd 3589 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∅ ∈ 𝐵)
365, 2, 12, 4, 22, 28, 29, 30, 31, 1, 35cnfcom2lem 8558 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝐺 = suc dom 𝐺)
3727, 36syl5eleqr 2705 . . . . . 6 (𝜑 dom 𝐺 ∈ dom 𝐺)
3822oif 8395 . . . . . . 7 𝐺:dom 𝐺⟶(𝐹 supp ∅)
3938ffvelrni 6324 . . . . . 6 ( dom 𝐺 ∈ dom 𝐺 → (𝐺 dom 𝐺) ∈ (𝐹 supp ∅))
4037, 39syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 dom 𝐺) ∈ (𝐹 supp ∅))
4120, 40sseldd 3589 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 dom 𝐺) ∈ 𝐴)
42 onelon 5717 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ (𝐺 dom 𝐺) ∈ 𝐴) → (𝐺 dom 𝐺) ∈ On)
432, 41, 42syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → (𝐺 dom 𝐺) ∈ On)
441, 43syl5eqel 2702 . 2 (𝜑𝑊 ∈ On)
45 oecl 7577 . . . . . . 7 ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (ω ↑𝑜 𝐴) ∈ On)
466, 2, 45sylancr 694 . . . . . 6 (𝜑 → (ω ↑𝑜 𝐴) ∈ On)
47 onelon 5717 . . . . . 6 (((ω ↑𝑜 𝐴) ∈ On ∧ 𝐵 ∈ (ω ↑𝑜 𝐴)) → 𝐵 ∈ On)
4846, 12, 47syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ On)
49 ontri1 5726 . . . . 5 ((ω ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (ω ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ ω))
506, 48, 49sylancr 694 . . . 4 (𝜑 → (ω ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ ω))
5132, 50mpbid 222 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ ω)
524fveq2i 6161 . . . . . . . 8 ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) = ((ω CNF 𝐴)‘((ω CNF 𝐴)‘𝐵))
53 f1ocnvfv2 6498 . . . . . . . . 9 (((ω CNF 𝐴):𝑆1-1-onto→(ω ↑𝑜 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ (ω ↑𝑜 𝐴)) → ((ω CNF 𝐴)‘((ω CNF 𝐴)‘𝐵)) = 𝐵)
548, 12, 53syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ω CNF 𝐴)‘((ω CNF 𝐴)‘𝐵)) = 𝐵)
5552, 54syl5eq 2667 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) = 𝐵)
5655adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑊 = ∅) → ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) = 𝐵)
576a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑊 = ∅) → ω ∈ On)
582adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑊 = ∅) → 𝐴 ∈ On)
5914adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑊 = ∅) → 𝐹𝑆)
6033a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑊 = ∅) → ∅ ∈ ω)
61 1on 7527 . . . . . . . . 9 1𝑜 ∈ On
6261a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑊 = ∅) → 1𝑜 ∈ On)
63 ovexd 6645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ∈ V)
645, 7, 2, 22, 14cantnfcl 8524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ( E We (𝐹 supp ∅) ∧ dom 𝐺 ∈ ω))
6564simpld 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → E We (𝐹 supp ∅))
6622oiiso 8402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹 supp ∅) ∈ V ∧ E We (𝐹 supp ∅)) → 𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp ∅)))
6763, 65, 66syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp ∅)))
6867ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → 𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp ∅)))
69 isof1o 6538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp ∅)) → 𝐺:dom 𝐺1-1-onto→(𝐹 supp ∅))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → 𝐺:dom 𝐺1-1-onto→(𝐹 supp ∅))
71 f1ocnv 6116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺:dom 𝐺1-1-onto→(𝐹 supp ∅) → 𝐺:(𝐹 supp ∅)–1-1-onto→dom 𝐺)
72 f1of 6104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺:(𝐹 supp ∅)–1-1-onto→dom 𝐺𝐺:(𝐹 supp ∅)⟶dom 𝐺)
7370, 71, 723syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → 𝐺:(𝐹 supp ∅)⟶dom 𝐺)
74 ffvelrn 6323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺:(𝐹 supp ∅)⟶dom 𝐺𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → (𝐺𝑥) ∈ dom 𝐺)
7573, 74sylancom 700 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → (𝐺𝑥) ∈ dom 𝐺)
76 elssuni 4440 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺𝑥) ∈ dom 𝐺 → (𝐺𝑥) ⊆ dom 𝐺)
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → (𝐺𝑥) ⊆ dom 𝐺)
78 onelon 5717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((dom 𝐺 ∈ On ∧ (𝐺𝑥) ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑥) ∈ On)
7924, 75, 78sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → (𝐺𝑥) ∈ On)
80 onuni 6955 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (dom 𝐺 ∈ On → dom 𝐺 ∈ On)
8124, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom 𝐺 ∈ On
82 ontri1 5726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺𝑥) ∈ On ∧ dom 𝐺 ∈ On) → ((𝐺𝑥) ⊆ dom 𝐺 ↔ ¬ dom 𝐺 ∈ (𝐺𝑥)))
8379, 81, 82sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → ((𝐺𝑥) ⊆ dom 𝐺 ↔ ¬ dom 𝐺 ∈ (𝐺𝑥)))
8477, 83mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → ¬ dom 𝐺 ∈ (𝐺𝑥))
8537ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → dom 𝐺 ∈ dom 𝐺)
86 isorel 6541 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 Isom E , E (dom 𝐺, (𝐹 supp ∅)) ∧ ( dom 𝐺 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑥) ∈ dom 𝐺)) → ( dom 𝐺 E (𝐺𝑥) ↔ (𝐺 dom 𝐺) E (𝐺‘(𝐺𝑥))))
8768, 85, 75, 86syl12anc 1321 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → ( dom 𝐺 E (𝐺𝑥) ↔ (𝐺 dom 𝐺) E (𝐺‘(𝐺𝑥))))
88 fvex 6168 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺𝑥) ∈ V
8988epelc 4997 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( dom 𝐺 E (𝐺𝑥) ↔ dom 𝐺 ∈ (𝐺𝑥))
901breq1i 4630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 E (𝐺‘(𝐺𝑥)) ↔ (𝐺 dom 𝐺) E (𝐺‘(𝐺𝑥)))
91 fvex 6168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺‘(𝐺𝑥)) ∈ V
9291epelc 4997 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 E (𝐺‘(𝐺𝑥)) ↔ 𝑊 ∈ (𝐺‘(𝐺𝑥)))
9390, 92bitr3i 266 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 dom 𝐺) E (𝐺‘(𝐺𝑥)) ↔ 𝑊 ∈ (𝐺‘(𝐺𝑥)))
9487, 89, 933bitr3g 302 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → ( dom 𝐺 ∈ (𝐺𝑥) ↔ 𝑊 ∈ (𝐺‘(𝐺𝑥))))
95 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → 𝑊 = ∅)
96 f1ocnvfv2 6498 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺:dom 𝐺1-1-onto→(𝐹 supp ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → (𝐺‘(𝐺𝑥)) = 𝑥)
9770, 96sylancom 700 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → (𝐺‘(𝐺𝑥)) = 𝑥)
9895, 97eleq12d 2692 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → (𝑊 ∈ (𝐺‘(𝐺𝑥)) ↔ ∅ ∈ 𝑥))
9994, 98bitrd 268 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → ( dom 𝐺 ∈ (𝐺𝑥) ↔ ∅ ∈ 𝑥))
10084, 99mtbid 314 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → ¬ ∅ ∈ 𝑥)
101 onss 6952 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ On → 𝐴 ⊆ On)
1022, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ⊆ On)
10320, 102sstrd 3598 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹 supp ∅) ⊆ On)
104103adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑊 = ∅) → (𝐹 supp ∅) ⊆ On)
105104sselda 3588 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → 𝑥 ∈ On)
106 on0eqel 5814 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ On → (𝑥 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝑥))
107105, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → (𝑥 = ∅ ∨ ∅ ∈ 𝑥))
108107ord 392 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → (¬ 𝑥 = ∅ → ∅ ∈ 𝑥))
109100, 108mt3d 140 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → 𝑥 = ∅)
110 el1o 7539 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ 1𝑜𝑥 = ∅)
111109, 110sylibr 224 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑊 = ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅)) → 𝑥 ∈ 1𝑜)
112111ex 450 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑊 = ∅) → (𝑥 ∈ (𝐹 supp ∅) → 𝑥 ∈ 1𝑜))
113112ssrdv 3594 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑊 = ∅) → (𝐹 supp ∅) ⊆ 1𝑜)
1145, 57, 58, 59, 60, 62, 113cantnflt2 8530 . . . . . . 7 ((𝜑𝑊 = ∅) → ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) ∈ (ω ↑𝑜 1𝑜))
115 oe1 7584 . . . . . . . 8 (ω ∈ On → (ω ↑𝑜 1𝑜) = ω)
1166, 115ax-mp 5 . . . . . . 7 (ω ↑𝑜 1𝑜) = ω
117114, 116syl6eleq 2708 . . . . . 6 ((𝜑𝑊 = ∅) → ((ω CNF 𝐴)‘𝐹) ∈ ω)
11856, 117eqeltrrd 2699 . . . . 5 ((𝜑𝑊 = ∅) → 𝐵 ∈ ω)
119118ex 450 . . . 4 (𝜑 → (𝑊 = ∅ → 𝐵 ∈ ω))
120119necon3bd 2804 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝐵 ∈ ω → 𝑊 ≠ ∅))
12151, 120mpd 15 . 2 (𝜑𝑊 ≠ ∅)
122 dif1o 7540 . 2 (𝑊 ∈ (On ∖ 1𝑜) ↔ (𝑊 ∈ On ∧ 𝑊 ≠ ∅))
12344, 121, 122sylanbrc 697 1 (𝜑𝑊 ∈ (On ∖ 1𝑜))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  Vcvv 3190  cdif 3557  cun 3558  wss 3560  c0 3897   cuni 4409   class class class wbr 4623  cmpt 4683   E cep 4993   We wwe 5042  ccnv 5083  dom cdm 5084  Oncon0 5692  suc csuc 5694  wf 5853  1-1-ontowf1o 5856  cfv 5857   Isom wiso 5858  (class class class)co 6615  cmpt2 6617  ωcom 7027   supp csupp 7255  seq𝜔cseqom 7502  1𝑜c1o 7513   +𝑜 coa 7517   ·𝑜 comu 7518  𝑜 coe 7519   finSupp cfsupp 8235  OrdIsocoi 8374   CNF ccnf 8518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-seqom 7503  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-omul 7525  df-oexp 7526  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-oi 8375  df-cnf 8519
This theorem is referenced by:  cnfcom3  8561  cnfcom3clem  8562
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