MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnf2 21247
Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnf2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋𝑌)

Proof of Theorem cnf2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscn 21233 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝐾 (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
21simprbda 654 . 2 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋𝑌)
323impa 1100 1 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072  wcel 2131  wral 3042  ccnv 5257  cima 5261  wf 6037  cfv 6041  (class class class)co 6805  TopOnctopon 20909   Cn ccn 21222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-fv 6049  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-map 8017  df-top 20893  df-topon 20910  df-cn 21225
This theorem is referenced by:  iscncl  21267  cncls2  21271  cncls  21272  cnntr  21273  cnrest2  21284  cnrest2r  21285  ptcn  21624  txdis1cn  21632  lmcn2  21646  cnmpt11  21660  cnmpt1t  21662  cnmpt12  21664  cnmpt21  21668  cnmpt2t  21670  cnmpt22  21671  cnmpt22f  21672  cnmptcom  21675  cnmptkp  21677  cnmptk1  21678  cnmpt1k  21679  cnmptkk  21680  cnmptk1p  21682  cnmptk2  21683  cnmpt2k  21685  qtopss  21712  qtopeu  21713  qtopomap  21715  qtopcmap  21716  hmeof1o2  21760  xpstopnlem1  21806  xkocnv  21811  xkohmeo  21812  qtophmeo  21814  cnmpt1plusg  22084  cnmpt2plusg  22085  tsmsmhm  22142  cnmpt1vsca  22190  cnmpt2vsca  22191  cnmpt1ds  22838  cnmpt2ds  22839  fsumcn  22866  cnmpt2pc  22920  htpyco1  22970  htpyco2  22971  phtpyco2  22982  pi1xfrf  23045  pi1xfr  23047  pi1xfrcnvlem  23048  pi1xfrcnv  23049  pi1cof  23051  pi1coghm  23053  cnmpt1ip  23238  cnmpt2ip  23239  txsconnlem  31521  txsconn  31522  cvmlift3lem6  31605  fcnre  39675  refsumcn  39680  refsum2cnlem1  39687  fprodcnlem  40326  icccncfext  40595  itgsubsticclem  40686
  Copyright terms: Public domain W3C validator