MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnf 21252
Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by FL, 8-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iscnp2.1 𝑋 = 𝐽
iscnp2.2 𝑌 = 𝐾
Assertion
Ref Expression
cnf (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋𝑌)

Proof of Theorem cnf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscnp2.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
2 iscnp2.2 . . . 4 𝑌 = 𝐾
31, 2iscn2 21244 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝐾 (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
43simprbi 483 . 2 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑥𝐾 (𝐹𝑥) ∈ 𝐽))
54simpld 477 1 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050   cuni 4588  ccnv 5265  cima 5269  wf 6045  (class class class)co 6813  Topctop 20900   Cn ccn 21230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-map 8025  df-top 20901  df-topon 20918  df-cn 21233
This theorem is referenced by:  cnco  21272  cnclima  21274  cnntri  21277  cnclsi  21278  cnss1  21282  cnss2  21283  cncnpi  21284  cncnp2  21287  cnrest  21291  cnrest2  21292  cnt0  21352  cnt1  21356  cnhaus  21360  dnsconst  21384  cncmp  21397  rncmp  21401  imacmp  21402  cnconn  21427  connima  21430  conncn  21431  2ndcomap  21463  kgencn2  21562  kgencn3  21563  txcnmpt  21629  uptx  21630  txcn  21631  hauseqlcld  21651  xkohaus  21658  xkoptsub  21659  xkopjcn  21661  xkoco1cn  21662  xkoco2cn  21663  xkococnlem  21664  cnmpt11f  21669  cnmpt21f  21677  hmeocnv  21767  hmeores  21776  txhmeo  21808  cnextfres  22074  bndth  22958  evth  22959  evth2  22960  htpyco2  22979  phtpyco2  22990  reparphti  22997  copco  23018  pcopt  23022  pcopt2  23023  pcoass  23024  pcorevlem  23026  pcorev2  23028  hauseqcn  30250  pl1cn  30310  rrhf  30351  esumcocn  30451  cnmbfm  30634  cnpconn  31519  ptpconn  31522  sconnpi1  31528  txsconnlem  31529  cvxsconn  31532  cvmseu  31565  cvmopnlem  31567  cvmfolem  31568  cvmliftmolem1  31570  cvmliftmolem2  31571  cvmliftlem3  31576  cvmliftlem6  31579  cvmliftlem7  31580  cvmliftlem8  31581  cvmliftlem9  31582  cvmliftlem10  31583  cvmliftlem11  31584  cvmliftlem13  31585  cvmliftlem15  31587  cvmlift2lem3  31594  cvmlift2lem5  31596  cvmlift2lem7  31598  cvmlift2lem9  31600  cvmlift2lem10  31601  cvmliftphtlem  31606  cvmlift3lem1  31608  cvmlift3lem2  31609  cvmlift3lem4  31611  cvmlift3lem5  31612  cvmlift3lem6  31613  cvmlift3lem7  31614  cvmlift3lem8  31615  cvmlift3lem9  31616  poimirlem31  33753  poimir  33755  broucube  33756  cnres2  33875  cnresima  33876  hausgraph  38292  refsum2cnlem1  39695  itgsubsticclem  40694  stoweidlem62  40782  cnfsmf  41455
  Copyright terms: Public domain W3C validator