MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncrng 19940
Description: The complex numbers form a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
cncrng fld ∈ CRing

Proof of Theorem cncrng
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 19923 . . . 4 ℂ = (Base‘ℂfld)
21a1i 11 . . 3 (⊤ → ℂ = (Base‘ℂfld))
3 cnfldadd 19924 . . . 4 + = (+g‘ℂfld)
43a1i 11 . . 3 (⊤ → + = (+g‘ℂfld))
5 cnfldmul 19925 . . . 4 · = (.r‘ℂfld)
65a1i 11 . . 3 (⊤ → · = (.r‘ℂfld))
7 addcl 10181 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
8 addass 10186 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
9 0cn 10195 . . . . 5 0 ∈ ℂ
10 addid2 10382 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
11 negcl 10444 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
12 addcom 10385 . . . . . . 7 ((-𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-𝑥 + 𝑥) = (𝑥 + -𝑥))
1311, 12mpancom 706 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → (-𝑥 + 𝑥) = (𝑥 + -𝑥))
14 negid 10491 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 + -𝑥) = 0)
1513, 14eqtrd 2782 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (-𝑥 + 𝑥) = 0)
161, 3, 7, 8, 9, 10, 11, 15isgrpi 17617 . . . 4 fld ∈ Grp
1716a1i 11 . . 3 (⊤ → ℂfld ∈ Grp)
18 mulcl 10183 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
19183adant1 1122 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
20 mulass 10187 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
2120adantl 473 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
22 adddi 10188 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
2322adantl 473 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
24 adddir 10194 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
2524adantl 473 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
26 1cnd 10219 . . 3 (⊤ → 1 ∈ ℂ)
27 mulid2 10201 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → (1 · 𝑥) = 𝑥)
2827adantl 473 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
29 mulid1 10200 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · 1) = 𝑥)
3029adantl 473 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 · 1) = 𝑥)
31 mulcom 10185 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
32313adant1 1122 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
332, 4, 6, 17, 19, 21, 23, 25, 26, 28, 30, 32iscrngd 18757 . 2 (⊤ → ℂfld ∈ CRing)
3433trud 1630 1 fld ∈ CRing
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  w3a 1072   = wceq 1620  wtru 1621  wcel 2127  cfv 6037  (class class class)co 6801  cc 10097  0cc0 10099  1c1 10100   + caddc 10102   · cmul 10104  -cneg 10430  Basecbs 16030  +gcplusg 16114  .rcmulr 16115  Grpcgrp 17594  CRingccrg 18719  fldccnfld 19919
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-addf 10178  ax-mulf 10179
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-7 11247  df-8 11248  df-9 11249  df-n0 11456  df-z 11541  df-dec 11657  df-uz 11851  df-fz 12491  df-struct 16032  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-plusg 16127  df-mulr 16128  df-starv 16129  df-tset 16133  df-ple 16134  df-ds 16137  df-unif 16138  df-0g 16275  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-grp 17597  df-cmn 18366  df-mgp 18661  df-ring 18720  df-cring 18721  df-cnfld 19920
This theorem is referenced by:  cnring  19941  cnmgpabl  19980  zringcrng  19993  zring0  20001  re0g  20131  refld  20138  smadiadetr  20654  plypf1  24138  amgmlem  24886  amgm  24887  wilthlem2  24965  wilthlem3  24966  gzcrng  30119  2zrng0  42417  amgmwlem  43030  amgmlemALT  43031
  Copyright terms: Public domain W3C validator