Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cncmpmax Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncmpmax 39690
Description: When the hypothesis for the extreme value theorem hold, then the sup of the range of the function belongs to the range, it is real and it an upper bound of the range. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cncmpmax.1 𝑇 = 𝐽
cncmpmax.2 𝐾 = (topGen‘ran (,))
cncmpmax.3 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
cncmpmax.4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
cncmpmax.5 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
cncmpmax (𝜑 → (sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ∧ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < )))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐹   𝑡,𝑇   𝜑,𝑡   𝑡,𝐽   𝑡,𝐾

Proof of Theorem cncmpmax
Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncmpmax.1 . . 3 𝑇 = 𝐽
2 cncmpmax.2 . . 3 𝐾 = (topGen‘ran (,))
3 cncmpmax.3 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
4 cncmpmax.4 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
5 cncmpmax.5 . . 3 (𝜑𝑇 ≠ ∅)
61, 2, 3, 4, 5evth 22959 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝑇𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥))
7 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (𝐽 Cn 𝐾) = (𝐽 Cn 𝐾)
82, 1, 7, 4fcnre 39683 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑇⟶ℝ)
9 frn 6214 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑇⟶ℝ → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
1110adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑇 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥))) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
12 ffun 6209 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑇⟶ℝ → Fun 𝐹)
138, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Fun 𝐹)
1413adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑇) → Fun 𝐹)
15 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑇) → 𝑥𝑇)
168adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑇) → 𝐹:𝑇⟶ℝ)
17 fdm 6212 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑇⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝑇)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑇) → dom 𝐹 = 𝑇)
1915, 18eleqtrrd 2842 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑇) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
20 fvelrn 6515 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑥) ∈ ran 𝐹)
2114, 19, 20syl2anc 696 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐹𝑥) ∈ ran 𝐹)
2221adantrr 755 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑇 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥))) → (𝐹𝑥) ∈ ran 𝐹)
23 ffn 6206 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝑇⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝑇)
24 fvelrnb 6405 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 Fn 𝑇 → (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑠𝑇 (𝐹𝑠) = 𝑦))
258, 23, 243syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑦 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑠𝑇 (𝐹𝑠) = 𝑦))
2625biimpa 502 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑠𝑇 (𝐹𝑠) = 𝑦)
27 df-rex 3056 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑠𝑇 (𝐹𝑠) = 𝑦 ↔ ∃𝑠(𝑠𝑇 ∧ (𝐹𝑠) = 𝑦))
2826, 27sylib 208 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑠(𝑠𝑇 ∧ (𝐹𝑠) = 𝑦))
2928adantlr 753 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑠(𝑠𝑇 ∧ (𝐹𝑠) = 𝑦))
30 simprr 813 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) ∧ (𝑠𝑇 ∧ (𝐹𝑠) = 𝑦)) → (𝐹𝑠) = 𝑦)
31 simpllr 817 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) ∧ (𝑠𝑇 ∧ (𝐹𝑠) = 𝑦)) → ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥))
32 simprl 811 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) ∧ (𝑠𝑇 ∧ (𝐹𝑠) = 𝑦)) → 𝑠𝑇)
33 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝑠 → (𝐹𝑡) = (𝐹𝑠))
3433breq1d 4814 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 𝑠 → ((𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑠) ≤ (𝐹𝑥)))
3534rspccva 3448 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥) ∧ 𝑠𝑇) → (𝐹𝑠) ≤ (𝐹𝑥))
3631, 32, 35syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) ∧ (𝑠𝑇 ∧ (𝐹𝑠) = 𝑦)) → (𝐹𝑠) ≤ (𝐹𝑥))
3730, 36eqbrtrrd 4828 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) ∧ (𝑠𝑇 ∧ (𝐹𝑠) = 𝑦)) → 𝑦 ≤ (𝐹𝑥))
3829, 37exlimddv 2012 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑦 ≤ (𝐹𝑥))
3938ralrimiva 3104 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥)) → ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ (𝐹𝑥))
4039adantrl 754 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑇 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥))) → ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ (𝐹𝑥))
41 ubelsupr 39678 . . . . . 6 ((ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ ran 𝐹 ∧ ∀𝑦 ∈ ran 𝐹 𝑦 ≤ (𝐹𝑥)) → (𝐹𝑥) = sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
4211, 22, 40, 41syl3anc 1477 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑇 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥))) → (𝐹𝑥) = sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
4342eqcomd 2766 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑇 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥))) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) = (𝐹𝑥))
4443, 22eqeltrd 2839 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑇 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥))) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹)
4511, 44sseldd 3745 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑇 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥))) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
46 simplrr 820 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑇 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥))) ∧ 𝑠𝑇) → ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥))
4746, 35sylancom 704 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑇 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥))) ∧ 𝑠𝑇) → (𝐹𝑠) ≤ (𝐹𝑥))
4843adantr 472 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑇 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥))) ∧ 𝑠𝑇) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) = (𝐹𝑥))
4947, 48breqtrrd 4832 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑇 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥))) ∧ 𝑠𝑇) → (𝐹𝑠) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
5049ralrimiva 3104 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑇 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥))) → ∀𝑠𝑇 (𝐹𝑠) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
5133breq1d 4814 . . . . 5 (𝑡 = 𝑠 → ((𝐹𝑡) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ↔ (𝐹𝑠) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < )))
5251cbvralv 3310 . . . 4 (∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ↔ ∀𝑠𝑇 (𝐹𝑠) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
5350, 52sylibr 224 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑇 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥))) → ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
5444, 45, 533jca 1123 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑇 ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ (𝐹𝑥))) → (sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ∧ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < )))
556, 54rexlimddv 3173 1 (𝜑 → (sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ran 𝐹 ∧ sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝐹𝑡) ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wex 1853  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wrex 3051  wss 3715  c0 4058   cuni 4588   class class class wbr 4804  dom cdm 5266  ran crn 5267  Fun wfun 6043   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  supcsup 8511  cr 10127   < clt 10266  cle 10267  (,)cioo 12368  topGenctg 16300   Cn ccn 21230  Compccmp 21391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-cmp 21392  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328
This theorem is referenced by:  stoweidlem36  40756
  Copyright terms: Public domain W3C validator