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Theorem cncfperiod 40410
Description: A periodic continuous function stays continuous if the domain is shifted a period. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfperiod.a (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
cncfperiod.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
cncfperiod.b 𝐵 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
cncfperiod.f (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
cncfperiod.cssdmf (𝜑𝐵 ⊆ dom 𝐹)
cncfperiod.fper ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
cncfperiod.fcn (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ (𝐴cn→ℂ))
Assertion
Ref Expression
cncfperiod (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐵cn→ℂ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem cncfperiod
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑧 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfperiod.f . . 3 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
2 cncfperiod.cssdmf . . 3 (𝜑𝐵 ⊆ dom 𝐹)
31, 2fssresd 6109 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐵):𝐵⟶ℂ)
4 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
5 cncfperiod.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
64, 5syl6eleq 2740 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)})
7 rabid 3145 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
86, 7sylib 208 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
98simprd 478 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → ∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇))
10 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑦 + 𝑇) → (𝑥𝑇) = ((𝑦 + 𝑇) − 𝑇))
11103ad2ant3 1104 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐴𝑥 = (𝑦 + 𝑇)) → (𝑥𝑇) = ((𝑦 + 𝑇) − 𝑇))
12 cncfperiod.a . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
1312sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℂ)
14 cncfperiod.t . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
1514recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
1615adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑇 ∈ ℂ)
1713, 16pncand 10431 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝑦 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑦)
1817adantlr 751 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑦 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑦)
19183adant3 1101 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐴𝑥 = (𝑦 + 𝑇)) → ((𝑦 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑦)
2011, 19eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐴𝑥 = (𝑦 + 𝑇)) → (𝑥𝑇) = 𝑦)
21 simp2 1082 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐴𝑥 = (𝑦 + 𝑇)) → 𝑦𝐴)
2220, 21eqeltrd 2730 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐴𝑥 = (𝑦 + 𝑇)) → (𝑥𝑇) ∈ 𝐴)
2322rexlimdv3a 3062 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → (∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇) → (𝑥𝑇) ∈ 𝐴))
249, 23mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥𝑇) ∈ 𝐴)
25 cncfperiod.fcn . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ (𝐴cn→ℂ))
2625adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝐹𝐴) ∈ (𝐴cn→ℂ))
2712adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)
28 ssid 3657 . . . . . . . . . . 11 ℂ ⊆ ℂ
2928a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵) → ℂ ⊆ ℂ)
30 elcncf 22739 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐹𝐴) ∈ (𝐴cn→ℂ) ↔ ((𝐹𝐴):𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑎𝐴𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑎) − ((𝐹𝐴)‘𝑏))) < 𝑤))))
3127, 29, 30syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝐹𝐴) ∈ (𝐴cn→ℂ) ↔ ((𝐹𝐴):𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑎𝐴𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑎) − ((𝐹𝐴)‘𝑏))) < 𝑤))))
3226, 31mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝐹𝐴):𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑎𝐴𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑎) − ((𝐹𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)))
3332simprd 478 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → ∀𝑎𝐴𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑎) − ((𝐹𝐴)‘𝑏))) < 𝑤))
34 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = (𝑥𝑇) → (𝑎𝑏) = ((𝑥𝑇) − 𝑏))
3534fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = (𝑥𝑇) → (abs‘(𝑎𝑏)) = (abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)))
3635breq1d 4695 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑥𝑇) → ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑧 ↔ (abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧))
37 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = (𝑥𝑇) → ((𝐹𝐴)‘𝑎) = ((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)))
3837oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = (𝑥𝑇) → (((𝐹𝐴)‘𝑎) − ((𝐹𝐴)‘𝑏)) = (((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) − ((𝐹𝐴)‘𝑏)))
3938fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = (𝑥𝑇) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑎) − ((𝐹𝐴)‘𝑏))) = (abs‘(((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) − ((𝐹𝐴)‘𝑏))))
4039breq1d 4695 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑥𝑇) → ((abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑎) − ((𝐹𝐴)‘𝑏))) < 𝑤 ↔ (abs‘(((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) − ((𝐹𝐴)‘𝑏))) < 𝑤))
4136, 40imbi12d 333 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑥𝑇) → (((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑎) − ((𝐹𝐴)‘𝑏))) < 𝑤) ↔ ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) − ((𝐹𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)))
4241rexralbidv 3087 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑥𝑇) → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑎) − ((𝐹𝐴)‘𝑏))) < 𝑤) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) − ((𝐹𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)))
4342ralbidv 3015 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑥𝑇) → (∀𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑎) − ((𝐹𝐴)‘𝑏))) < 𝑤) ↔ ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) − ((𝐹𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)))
4443rspcva 3338 . . . . . . 7 (((𝑥𝑇) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑎𝐴𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ((abs‘(𝑎𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝑎) − ((𝐹𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) → ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) − ((𝐹𝐴)‘𝑏))) < 𝑤))
4524, 33, 44syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) − ((𝐹𝐴)‘𝑏))) < 𝑤))
4645adantrr 753 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) → ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) − ((𝐹𝐴)‘𝑏))) < 𝑤))
47 simprr 811 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) → 𝑤 ∈ ℝ+)
48 rspa 2959 . . . . 5 ((∀𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) − ((𝐹𝐴)‘𝑏))) < 𝑤) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) − ((𝐹𝐴)‘𝑏))) < 𝑤))
4946, 47, 48syl2anc 694 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) − ((𝐹𝐴)‘𝑏))) < 𝑤))
50 simpl1l 1132 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) − ((𝐹𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣𝐵) → 𝜑)
5150adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) − ((𝐹𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣𝐵) ∧ (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧) → 𝜑)
52 simp1rl 1146 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) − ((𝐹𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) → 𝑥𝐵)
5352adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) − ((𝐹𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣𝐵) → 𝑥𝐵)
5453adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) − ((𝐹𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣𝐵) ∧ (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧) → 𝑥𝐵)
55 simplr 807 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) − ((𝐹𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣𝐵) ∧ (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧) → 𝑣𝐵)
56 fvres 6245 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥𝐵 → ((𝐹𝐵)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
5756adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝐹𝐵)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
58 ssrab2 3720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦𝐴 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} ⊆ ℂ
595, 58eqsstri 3668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐵 ⊆ ℂ
6059sseli 3632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥𝐵𝑥 ∈ ℂ)
6160adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
6215adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑇 ∈ ℂ)
6361, 62npcand 10434 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝑥𝑇) + 𝑇) = 𝑥)
6463eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 = ((𝑥𝑇) + 𝑇))
6564fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘((𝑥𝑇) + 𝑇)))
66 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝜑)
6766, 24jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝜑 ∧ (𝑥𝑇) ∈ 𝐴))
68 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (𝑥𝑇) → (𝑦𝐴 ↔ (𝑥𝑇) ∈ 𝐴))
6968anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (𝑥𝑇) → ((𝜑𝑦𝐴) ↔ (𝜑 ∧ (𝑥𝑇) ∈ 𝐴)))
70 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (𝑥𝑇) → (𝑦 + 𝑇) = ((𝑥𝑇) + 𝑇))
7170fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (𝑥𝑇) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘((𝑥𝑇) + 𝑇)))
72 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (𝑥𝑇) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝑥𝑇)))
7371, 72eqeq12d 2666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (𝑥𝑇) → ((𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦) ↔ (𝐹‘((𝑥𝑇) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥𝑇))))
7469, 73imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑥𝑇) → (((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥𝑇) ∈ 𝐴) → (𝐹‘((𝑥𝑇) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥𝑇)))))
75 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
7675anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑𝑥𝐴) ↔ (𝜑𝑦𝐴)))
77 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 + 𝑇) = (𝑦 + 𝑇))
7877fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)))
79 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
8078, 79eqeq12d 2666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦)))
8176, 80imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦))))
82 cncfperiod.fper . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
8381, 82chvarv 2299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦))
8474, 83vtoclg 3297 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝑇) ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ (𝑥𝑇) ∈ 𝐴) → (𝐹‘((𝑥𝑇) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥𝑇))))
8524, 67, 84sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝐹‘((𝑥𝑇) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥𝑇)))
86 fvres 6245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝑇) ∈ 𝐴 → ((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) = (𝐹‘(𝑥𝑇)))
8724, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) = (𝐹‘(𝑥𝑇)))
8885, 87eqtr4d 2688 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝐹‘((𝑥𝑇) + 𝑇)) = ((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)))
8957, 65, 883eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝐹𝐵)‘𝑥) = ((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)))
90893adant3 1101 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐵𝑣𝐵) → ((𝐹𝐵)‘𝑥) = ((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)))
91 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑣 → (𝑥𝐵𝑣𝐵))
9291anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑣 → ((𝜑𝑥𝐵) ↔ (𝜑𝑣𝐵)))
93 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑣 → ((𝐹𝐵)‘𝑥) = ((𝐹𝐵)‘𝑣))
94 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑣 → (𝑥𝑇) = (𝑣𝑇))
9594fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑣 → ((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) = ((𝐹𝐴)‘(𝑣𝑇)))
9693, 95eqeq12d 2666 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑣 → (((𝐹𝐵)‘𝑥) = ((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) ↔ ((𝐹𝐵)‘𝑣) = ((𝐹𝐴)‘(𝑣𝑇))))
9792, 96imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑣 → (((𝜑𝑥𝐵) → ((𝐹𝐵)‘𝑥) = ((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇))) ↔ ((𝜑𝑣𝐵) → ((𝐹𝐵)‘𝑣) = ((𝐹𝐴)‘(𝑣𝑇)))))
9897, 89chvarv 2299 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑣𝐵) → ((𝐹𝐵)‘𝑣) = ((𝐹𝐴)‘(𝑣𝑇)))
99983adant2 1100 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐵𝑣𝐵) → ((𝐹𝐵)‘𝑣) = ((𝐹𝐴)‘(𝑣𝑇)))
10090, 99oveq12d 6708 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐵𝑣𝐵) → (((𝐹𝐵)‘𝑥) − ((𝐹𝐵)‘𝑣)) = (((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) − ((𝐹𝐴)‘(𝑣𝑇))))
101100fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵𝑣𝐵) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑥) − ((𝐹𝐵)‘𝑣))) = (abs‘(((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) − ((𝐹𝐴)‘(𝑣𝑇)))))
10251, 54, 55, 101syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) − ((𝐹𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣𝐵) ∧ (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑥) − ((𝐹𝐵)‘𝑣))) = (abs‘(((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) − ((𝐹𝐴)‘(𝑣𝑇)))))
10351, 54, 55jca31 556 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) − ((𝐹𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣𝐵) ∧ (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧) → ((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑣𝐵))
104 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) − ((𝐹𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣𝐵) ∧ (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧) → (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧)
1058simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
106105adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑣𝐵) → 𝑥 ∈ ℂ)
10759sseli 3632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣𝐵𝑣 ∈ ℂ)
108107adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑣𝐵) → 𝑣 ∈ ℂ)
10962adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑣𝐵) → 𝑇 ∈ ℂ)
110106, 108, 109nnncan2d 10465 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑣𝐵) → ((𝑥𝑇) − (𝑣𝑇)) = (𝑥𝑣))
111110fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑣𝐵) → (abs‘((𝑥𝑇) − (𝑣𝑇))) = (abs‘(𝑥𝑣)))
112111adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧) → (abs‘((𝑥𝑇) − (𝑣𝑇))) = (abs‘(𝑥𝑣)))
113 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧) → (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧)
114112, 113eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑣𝐵) ∧ (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧) → (abs‘((𝑥𝑇) − (𝑣𝑇))) < 𝑧)
115103, 104, 114syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) − ((𝐹𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣𝐵) ∧ (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧) → (abs‘((𝑥𝑇) − (𝑣𝑇))) < 𝑧)
11694eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑣 → ((𝑥𝑇) ∈ 𝐴 ↔ (𝑣𝑇) ∈ 𝐴))
11792, 116imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑣 → (((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥𝑇) ∈ 𝐴) ↔ ((𝜑𝑣𝐵) → (𝑣𝑇) ∈ 𝐴)))
118117, 24chvarv 2299 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑣𝐵) → (𝑣𝑇) ∈ 𝐴)
11951, 55, 118syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) − ((𝐹𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣𝐵) ∧ (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧) → (𝑣𝑇) ∈ 𝐴)
120 simpll3 1122 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) − ((𝐹𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣𝐵) ∧ (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧) → ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) − ((𝐹𝐴)‘𝑏))) < 𝑤))
121 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = (𝑣𝑇) → ((𝑥𝑇) − 𝑏) = ((𝑥𝑇) − (𝑣𝑇)))
122121fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = (𝑣𝑇) → (abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) = (abs‘((𝑥𝑇) − (𝑣𝑇))))
123122breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = (𝑣𝑇) → ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 ↔ (abs‘((𝑥𝑇) − (𝑣𝑇))) < 𝑧))
124 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = (𝑣𝑇) → ((𝐹𝐴)‘𝑏) = ((𝐹𝐴)‘(𝑣𝑇)))
125124oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = (𝑣𝑇) → (((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) − ((𝐹𝐴)‘𝑏)) = (((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) − ((𝐹𝐴)‘(𝑣𝑇))))
126125fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = (𝑣𝑇) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) − ((𝐹𝐴)‘𝑏))) = (abs‘(((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) − ((𝐹𝐴)‘(𝑣𝑇)))))
127126breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = (𝑣𝑇) → ((abs‘(((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) − ((𝐹𝐴)‘𝑏))) < 𝑤 ↔ (abs‘(((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) − ((𝐹𝐴)‘(𝑣𝑇)))) < 𝑤))
128123, 127imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = (𝑣𝑇) → (((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) − ((𝐹𝐴)‘𝑏))) < 𝑤) ↔ ((abs‘((𝑥𝑇) − (𝑣𝑇))) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) − ((𝐹𝐴)‘(𝑣𝑇)))) < 𝑤)))
129128rspcva 3338 . . . . . . . . . . 11 (((𝑣𝑇) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) − ((𝐹𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) → ((abs‘((𝑥𝑇) − (𝑣𝑇))) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) − ((𝐹𝐴)‘(𝑣𝑇)))) < 𝑤))
130119, 120, 129syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) − ((𝐹𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣𝐵) ∧ (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧) → ((abs‘((𝑥𝑇) − (𝑣𝑇))) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) − ((𝐹𝐴)‘(𝑣𝑇)))) < 𝑤))
131115, 130mpd 15 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) − ((𝐹𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣𝐵) ∧ (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) − ((𝐹𝐴)‘(𝑣𝑇)))) < 𝑤)
132102, 131eqbrtrd 4707 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) − ((𝐹𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣𝐵) ∧ (abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑥) − ((𝐹𝐵)‘𝑣))) < 𝑤)
133132ex 449 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) − ((𝐹𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) ∧ 𝑣𝐵) → ((abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑥) − ((𝐹𝐵)‘𝑣))) < 𝑤))
134133ralrimiva 2995 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) − ((𝐹𝐴)‘𝑏))) < 𝑤)) → ∀𝑣𝐵 ((abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑥) − ((𝐹𝐵)‘𝑣))) < 𝑤))
1351343exp 1283 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) → (𝑧 ∈ ℝ+ → (∀𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) − ((𝐹𝐴)‘𝑏))) < 𝑤) → ∀𝑣𝐵 ((abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑥) − ((𝐹𝐵)‘𝑣))) < 𝑤))))
136135reximdvai 3044 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑏𝐴 ((abs‘((𝑥𝑇) − 𝑏)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘(𝑥𝑇)) − ((𝐹𝐴)‘𝑏))) < 𝑤) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑥) − ((𝐹𝐵)‘𝑣))) < 𝑤)))
13749, 136mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑥) − ((𝐹𝐵)‘𝑣))) < 𝑤))
138137ralrimivva 3000 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑥) − ((𝐹𝐵)‘𝑣))) < 𝑤))
13959a1i 11 . . 3 (𝜑𝐵 ⊆ ℂ)
14028a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
141 elcncf 22739 . . 3 ((𝐵 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐹𝐵) ∈ (𝐵cn→ℂ) ↔ ((𝐹𝐵):𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑥) − ((𝐹𝐵)‘𝑣))) < 𝑤))))
142139, 140, 141syl2anc 694 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐵) ∈ (𝐵cn→ℂ) ↔ ((𝐹𝐵):𝐵⟶ℂ ∧ ∀𝑥𝐵𝑤 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑣𝐵 ((abs‘(𝑥𝑣)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝑥) − ((𝐹𝐵)‘𝑣))) < 𝑤))))
1433, 138, 142mpbir2and 977 1 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐵cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  wss 3607   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  cres 5145  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973   + caddc 9977   < clt 10112  cmin 10304  +crp 11870  abscabs 14018  cnccncf 22726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-sub 10306  df-cncf 22728
This theorem is referenced by:  itgperiod  40515  fourierdlem81  40722
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