Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cncfmptssg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfmptssg 40604
Description: A continuous complex function restricted to a subset is continuous, using "map to" notation. This theorem generalizes cncfmptss 40340 because it allows to establish a subset for the codomain also. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfmptssg.2 𝐹 = (𝑥𝐴𝐸)
cncfmptssg.3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵))
cncfmptssg.4 (𝜑𝐶𝐴)
cncfmptssg.5 (𝜑𝐷𝐵)
cncfmptssg.6 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐸𝐷)
Assertion
Ref Expression
cncfmptssg (𝜑 → (𝑥𝐶𝐸) ∈ (𝐶cn𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem cncfmptssg
StepHypRef Expression
1 cncfmptssg.6 . . 3 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐸𝐷)
2 eqid 2760 . . 3 (𝑥𝐶𝐸) = (𝑥𝐶𝐸)
31, 2fmptd 6549 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐶𝐸):𝐶𝐷)
4 cncfmptssg.5 . . . 4 (𝜑𝐷𝐵)
5 cncfmptssg.3 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵))
6 cncfrss2 22916 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐵 ⊆ ℂ)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ ℂ)
84, 7sstrd 3754 . . 3 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
9 cncfmptssg.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝐴)
109sselda 3744 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥𝐴)
11 cncfmptssg.2 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥𝐴𝐸)
1211fvmpt2 6454 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝐸𝐷) → (𝐹𝑥) = 𝐸)
1310, 1, 12syl2anc 696 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝐹𝑥) = 𝐸)
1413mpteq2dva 4896 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥𝐶𝐸))
15 nfmpt1 4899 . . . . . 6 𝑥(𝑥𝐴𝐸)
1611, 15nfcxfr 2900 . . . . 5 𝑥𝐹
1716, 5, 9cncfmptss 40340 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ (𝐶cn𝐵))
1814, 17eqeltrrd 2840 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐶𝐸) ∈ (𝐶cn𝐵))
19 cncffvrn 22922 . . 3 ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ (𝑥𝐶𝐸) ∈ (𝐶cn𝐵)) → ((𝑥𝐶𝐸) ∈ (𝐶cn𝐷) ↔ (𝑥𝐶𝐸):𝐶𝐷))
208, 18, 19syl2anc 696 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐶𝐸) ∈ (𝐶cn𝐷) ↔ (𝑥𝐶𝐸):𝐶𝐷))
213, 20mpbird 247 1 (𝜑 → (𝑥𝐶𝐸) ∈ (𝐶cn𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wss 3715  cmpt 4881  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  cnccncf 22900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-2 11291  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-abs 14195  df-cncf 22902
This theorem is referenced by:  negcncfg  40615  itgsinexplem1  40690  itgiccshift  40717  itgperiod  40718  itgsbtaddcnst  40719  dirkeritg  40840  dirkercncflem2  40842  dirkercncflem4  40844  fourierdlem18  40863  fourierdlem23  40868  fourierdlem39  40884  fourierdlem40  40885  fourierdlem62  40906  fourierdlem73  40917  fourierdlem78  40922  fourierdlem83  40927  fourierdlem84  40928  fourierdlem93  40937  fourierdlem95  40939  fourierdlem101  40945  fourierdlem111  40955  etransclem46  41018
  Copyright terms: Public domain W3C validator