Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncfmpt1f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfmpt1f 22917
 Description: Composition of continuous functions. –cn→ analogue of cnmpt11f 21669. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfmpt1f.1 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
cncfmpt1f.2 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝑋cn→ℂ))
Assertion
Ref Expression
cncfmpt1f (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝐴)) ∈ (𝑋cn→ℂ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem cncfmpt1f
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfmpt1f.2 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝑋cn→ℂ))
2 cncff 22897 . . . . 5 ((𝑥𝑋𝐴) ∈ (𝑋cn→ℂ) → (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶ℂ)
4 eqid 2760 . . . . 5 (𝑥𝑋𝐴) = (𝑥𝑋𝐴)
54fmpt 6544 . . . 4 (∀𝑥𝑋 𝐴 ∈ ℂ ↔ (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶ℂ)
63, 5sylibr 224 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 𝐴 ∈ ℂ)
7 eqidd 2761 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴) = (𝑥𝑋𝐴))
8 cncfmpt1f.1 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
9 cncff 22897 . . . . 5 (𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
1110feqmptd 6411 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝐹𝑦)))
12 fveq2 6352 . . 3 (𝑦 = 𝐴 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴))
136, 7, 11, 12fmptcof 6560 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝐴)))
141, 8cncfco 22911 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑥𝑋𝐴)) ∈ (𝑋cn→ℂ))
1513, 14eqeltrrd 2840 1 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝐴)) ∈ (𝑋cn→ℂ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050   ↦ cmpt 4881   ∘ ccom 5270  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℂcc 10126  –cn→ccncf 22880 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-2 11271  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-abs 14175  df-cncf 22882 This theorem is referenced by:  taylthlem2  24327  sincn  24397  coscn  24398  pige3  24468  efmul2picn  30983  itgexpif  30993  ftc1cnnclem  33796  ftc2nc  33807  itgcoscmulx  40688  itgsincmulx  40693  dirkeritg  40822  dirkercncflem2  40824  dirkercncflem4  40826  fourierdlem16  40843  fourierdlem21  40848  fourierdlem22  40849  fourierdlem39  40866  fourierdlem58  40884  fourierdlem62  40888  fourierdlem68  40894  fourierdlem73  40899  fourierdlem76  40902  fourierdlem78  40904  fourierdlem83  40909  sqwvfoura  40948  sqwvfourb  40949  etransclem18  40972  etransclem46  41000
 Copyright terms: Public domain W3C validator