Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cncficcgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncficcgt0 40419
 Description: A the absolute value of a continuous function on a closed interval, that is never 0, has a strictly positive lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncficcgt0.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶)
cncficcgt0.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
cncficcgt0.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
cncficcgt0.aleb (𝜑𝐴𝐵)
cncficcgt0.fcn (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℝ ∖ {0})))
Assertion
Ref Expression
cncficcgt0 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑦 ≤ (abs‘𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐶   𝑦,𝐹   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem cncficcgt0
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncficcgt0.fcn . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℝ ∖ {0})))
2 cncff 22743 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℝ ∖ {0})) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶(ℝ ∖ {0}))
3 ffun 6086 . . . . . . . 8 (𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶(ℝ ∖ {0}) → Fun 𝐹)
41, 2, 33syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → Fun 𝐹)
54adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → Fun 𝐹)
6 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵))
71, 2syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶(ℝ ∖ {0}))
8 fdm 6089 . . . . . . . . . 10 (𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶(ℝ ∖ {0}) → dom 𝐹 = (𝐴[,]𝐵))
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝐹 = (𝐴[,]𝐵))
109eqcomd 2657 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
1110adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
126, 11eleqtrd 2732 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑐 ∈ dom 𝐹)
13 fvco 6313 . . . . . 6 ((Fun 𝐹𝑐 ∈ dom 𝐹) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) = (abs‘(𝐹𝑐)))
145, 12, 13syl2anc 694 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) = (abs‘(𝐹𝑐)))
157ffvelrnda 6399 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑐) ∈ (ℝ ∖ {0}))
1615eldifad 3619 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑐) ∈ ℝ)
1716recnd 10106 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑐) ∈ ℂ)
18 eldifsni 4353 . . . . . . 7 ((𝐹𝑐) ∈ (ℝ ∖ {0}) → (𝐹𝑐) ≠ 0)
1915, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑐) ≠ 0)
2017, 19absrpcld 14231 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘(𝐹𝑐)) ∈ ℝ+)
2114, 20eqeltrd 2730 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ∈ ℝ+)
2221adantr 480 . . 3 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ∈ ℝ+)
23 nfv 1883 . . . . 5 𝑥(𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵))
24 nfcv 2793 . . . . . 6 𝑥(𝐴[,]𝐵)
25 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑥abs
26 cncficcgt0.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶)
27 nfmpt1 4780 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶)
2826, 27nfcxfr 2791 . . . . . . . . 9 𝑥𝐹
2925, 28nfco 5320 . . . . . . . 8 𝑥(abs ∘ 𝐹)
30 nfcv 2793 . . . . . . . 8 𝑥𝑐
3129, 30nffv 6236 . . . . . . 7 𝑥((abs ∘ 𝐹)‘𝑐)
32 nfcv 2793 . . . . . . 7 𝑥
33 nfcv 2793 . . . . . . . 8 𝑥𝑑
3429, 33nffv 6236 . . . . . . 7 𝑥((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)
3531, 32, 34nfbr 4732 . . . . . 6 𝑥((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)
3624, 35nfral 2974 . . . . 5 𝑥𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)
3723, 36nfan 1868 . . . 4 𝑥((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑))
38 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑥 → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑) = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥))
3938breq2d 4697 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑥 → (((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑) ↔ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥)))
4039rspccva 3339 . . . . . . 7 ((∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥))
4140adantll 750 . . . . . 6 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥))
42 absf 14121 . . . . . . . . . . 11 abs:ℂ⟶ℝ
4342a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
44 difss 3770 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ ∖ {0}) ⊆ ℝ
45 ax-resscn 10031 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℂ
4644, 45sstri 3645 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ ∖ {0}) ⊆ ℂ
4746a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
487, 47fssd 6095 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
49 fcompt 6440 . . . . . . . . . 10 ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ) → (abs ∘ 𝐹) = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹𝑧))))
5043, 48, 49syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs ∘ 𝐹) = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹𝑧))))
51 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝑧
5228, 51nffv 6236 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(𝐹𝑧)
5325, 52nffv 6236 . . . . . . . . . . 11 𝑥(abs‘(𝐹𝑧))
54 nfcv 2793 . . . . . . . . . . 11 𝑧(abs‘(𝐹𝑥))
55 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑥 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑥))
5655fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑥 → (abs‘(𝐹𝑧)) = (abs‘(𝐹𝑥)))
5753, 54, 56cbvmpt 4782 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹𝑧))) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹𝑥)))
5857a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹𝑧))) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹𝑥))))
5926a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶))
6059, 7feq1dd 39661 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐶):(𝐴[,]𝐵)⟶(ℝ ∖ {0}))
6160mptex2 6424 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ (ℝ ∖ {0}))
6259, 61fvmpt2d 6332 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) = 𝐶)
6362fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘(𝐹𝑥)) = (abs‘𝐶))
6463mpteq2dva 4777 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘(𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘𝐶)))
6550, 58, 643eqtrd 2689 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs ∘ 𝐹) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (abs‘𝐶)))
6646, 61sseldi 3634 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
6766abscld 14219 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
6865, 67fvmpt2d 6332 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) = (abs‘𝐶))
6968ad4ant14 1317 . . . . . 6 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑥) = (abs‘𝐶))
7041, 69breqtrd 4711 . . . . 5 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ (abs‘𝐶))
7170ex 449 . . . 4 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ (abs‘𝐶)))
7237, 71ralrimi 2986 . . 3 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ (abs‘𝐶))
7331nfeq2 2809 . . . . 5 𝑥 𝑦 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐)
74 breq1 4688 . . . . 5 (𝑦 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) → (𝑦 ≤ (abs‘𝐶) ↔ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ (abs‘𝐶)))
7573, 74ralbid 3012 . . . 4 (𝑦 = ((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) → (∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑦 ≤ (abs‘𝐶) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ (abs‘𝐶)))
7675rspcev 3340 . . 3 ((((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ (abs‘𝐶)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑦 ≤ (abs‘𝐶))
7722, 72, 76syl2anc 694 . 2 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑦 ≤ (abs‘𝐶))
78 cncficcgt0.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
79 cncficcgt0.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
80 cncficcgt0.aleb . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
81 ssid 3657 . . . . . . . 8 ℂ ⊆ ℂ
8281a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
83 cncfss 22749 . . . . . . 7 (((ℝ ∖ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℝ ∖ {0})) ⊆ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
8447, 82, 83syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℝ ∖ {0})) ⊆ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
8584, 1sseldd 3637 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
86 abscncf 22751 . . . . . 6 abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
8786a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → abs ∈ (ℂ–cn→ℝ))
8885, 87cncfco 22757 . . . 4 (𝜑 → (abs ∘ 𝐹) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
8978, 79, 80, 88evthicc 23274 . . 3 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑏 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑏) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑎) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑)))
9089simprd 478 . 2 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs ∘ 𝐹)‘𝑐) ≤ ((abs ∘ 𝐹)‘𝑑))
9177, 90r19.29a 3107 1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑦 ≤ (abs‘𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  ∃wrex 2942   ∖ cdif 3604   ⊆ wss 3607  {csn 4210   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  dom cdm 5143   ∘ ccom 5147  Fun wfun 5920  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974   ≤ cle 10113  ℝ+crp 11870  [,]cicc 12216  abscabs 14018  –cn→ccncf 22726 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728 This theorem is referenced by:  fourierdlem68  40709
 Copyright terms: Public domain W3C validator