Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncffvrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncffvrn 22894
 Description: Change the codomain of a continuous complex function. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
cncffvrn ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐶) ↔ 𝐹:𝐴𝐶))

Proof of Theorem cncffvrn
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfrss 22887 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)
21adantl 473 . . 3 ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → 𝐴 ⊆ ℂ)
3 simpl 474 . . 3 ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → 𝐶 ⊆ ℂ)
4 elcncf2 22886 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐶) ↔ (𝐹:𝐴𝐶 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦))))
52, 3, 4syl2anc 696 . 2 ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐶) ↔ (𝐹:𝐴𝐶 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦))))
6 cncfi 22890 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ∧ 𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦))
763expb 1113 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦))
87ralrimivva 3101 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦))
98adantl 473 . . 3 ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦))
109biantrud 529 . 2 ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → (𝐹:𝐴𝐶 ↔ (𝐹:𝐴𝐶 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑤𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑤) − (𝐹𝑥))) < 𝑦))))
115, 10bitr4d 271 1 ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)) → (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐶) ↔ 𝐹:𝐴𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∈ wcel 2131  ∀wral 3042  ∃wrex 3043   ⊆ wss 3707   class class class wbr 4796  ⟶wf 6037  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805  ℂcc 10118   < clt 10258   − cmin 10450  ℝ+crp 12017  abscabs 14165  –cn→ccncf 22872 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-po 5179  df-so 5180  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-er 7903  df-map 8017  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-2 11263  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-abs 14167  df-cncf 22874 This theorem is referenced by:  cncfss  22895  cncfmpt2ss  22911  rolle  23944  dvlipcn  23948  c1lip2  23952  dvivthlem1  23962  dvivth  23964  lhop1lem  23967  dvcnvrelem2  23972  dvfsumlem2  23981  itgsubstlem  24002  efcvx  24394  dvrelog  24574  relogcn  24575  logcn  24584  dvlog  24588  logccv  24600  resqrtcn  24681  loglesqrt  24690  lgamgulmlem2  24947  rpsqrtcn  30972  fdvneggt  30979  fdvnegge  30981  logdivsqrle  31029  knoppcn2  32825  areacirclem4  33808  cncfres  33869  cncfmptssg  40578  resincncf  40583  cncfcompt  40591  cncfiooiccre  40603  dvdivcncf  40637  dvbdfbdioolem1  40638  ioodvbdlimc1lem2  40642  ioodvbdlimc2lem  40644  itgsbtaddcnst  40693  fourierdlem58  40876  fourierdlem59  40877  fourierdlem62  40880  fourierdlem68  40886  fourierdlem76  40894  fourierdlem78  40896  fourierdlem83  40901  fourierdlem101  40919  fourierdlem112  40930  fouriercn  40944
 Copyright terms: Public domain W3C validator